Question

（1）1+2³+3³+……+n³ （2）1/1*2*3+1/2*3*4+1/3*4*5+……+1/n(n+1)(n+2)

第一题是n个立方和相加，第二题是三个连续的自然数之积分之一，再相加
求解，如有证明过程更好，谢谢啦

Answer 1

（1）1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
证明：
利用立方差公式：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)]^2/4
（2）1/1*2*3+1/2*3*4+1/3*4*5+……+1/n(n+1)(n+2)
数列通项公式为an=1/n×(n+1)×(n+2) 时，一般用裂项法，就是把每一项分成两个项的差的形式。
an=[1/n(n+1) - 1/(n+1)(n+2)]/2 ;
（举例：an=1/n(n+1)=1/n - 1/(n+1);
an=1/n(n+1)(n+2)(n+3)=[1/n(n+1)(n+2) - 1/(n+1)(n+2)(n+3)]/3)
这样的目的是：把中间项都减掉，就剩第一项和最后一项）
Sn=1/1×2×3+1/2×3×4+1/3×4×5+…+1/n×(n+1)×(n+2)
Sn=[1/1*2 -1/2*3]/2 +[1/2*3 -1/3*4]/2 +[1/3*4 - 1/4*5]/2 + ---- + [1/n*(n+1) - 1/(n+1)*(n+2)]/2
=[ 1/2 - 1/(n+1)(n+2)n]/2

Answer 2

（1）1+2³+3³+……+n³
归纳法：
因为
1+2³=9=3²=(1+2)²
1+2³+3³=36=6²=(1+2+3)²
...
所以，1+2³+3³+……+n³
=(1=2+3+...+n)²
=[n(1+n)/2]²
=n²(n+1)²/4

（2）1/1*2*3+1/2*3*4+1/3*4*5+……+1/n(n+1)(n+2)
=(1/2)*[1/1*2-1/2*3+1/2*3-1/3*4+1/3*4-1/4*5+....+1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
=(1/2)*[1/2-1/(n+1)(n+2)]
=(n²+3n)/[4(n+1)(n+2)]

Answer 3

有一条数列立法和公式，去网上找一下。2，原式=＜(1×1/2)－(1×1/3)＞+＜(1/2×1/3)－(1/2×1/4)＞+＜(1/3×1/4)－(1/3×1/5)＞+……+＜(1/n×1/(n+1))－(1/n×1/(n+2))＞=＜(1-1/2)－(1-1/3)/2＞+＜(1/2-1/3)－(1/2-1/4)/2＞+＜(1/3-1/4)－(1/3-1/5)/2＞+……+＜(1/n-1/(n+1))－(1/n-1/(n+2))/2＞=1-1/(n+1))+＜1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)＞／2=7/4-3/2(n+1)-1/2(n+2)