Question

设a大于等于0,f(x)=x-1-In2x+2aInx（x大于0) 求证x大于1时，恒有x大于In2x-2aInx+1

Inx的平方，不是Inx不是In2x,是Inx的平方

Answer 1

f(x)=x－1－ln²x＋2alnx，则：
f'(x)=1－(2lnx)/x＋(2a/x)=(x－2lnx＋2a)/(x)
另设：g(x)=x－2lnx＋2a，则g'(x)=1－(2/x)=(x－2)/x，则：
g(x)在(0，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，则g(x)的最小值是g(2)=2－2ln2＋2a=2ln(e/2)＋2a
因为a≥0，e/2>1则ln(e/2)>0，所以g(x)的最小值g(2)>0，从而，对于f'(x)来说，则有：
f'(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上是递增的，
所以函数f(x)在x>1时是递增的，则：
当x>1时，恒有f(x)>f(1)成立，即：
x－1－ln(2x)＋2alnx>0
就是：x>ln(2x)－2alnx＋1成立。

Answer 2

求导=1-1/2x+4a/2x
(1)4a-1<0,因为a>0,故-1<4a-1<0<2x,1+(4a-1)/2x>0
(2)4a-1>=0,1+(4a-1)/2x>0
x>0时,导数恒大于0，又因为f（1）=0，故恒有x大于In2x-2aInx+1

Answer 3

令g（x）=In2x-2aInx+1-x,求导得：g'(x)=1/x-2a/x-1(x>1)
再将原来的那个式子求导得出条件，结合起来就可求了.。