Question

已知函数y＝sin^2 x＋2sinxcosx＋3cos^2 x，x∈R。 ⑴函数最小正周期是？ ⑵函数在什么区间上是增...

已知函数y＝sin^2 x＋2sinxcosx＋3cos^2 x，x∈R。
⑴函数最小正周期是？
⑵函数在什么区间上是增函数？
⑶函数的图像可以由y＝√2sin2x，x∈R的图像经过怎样的变换得出？

Answer 1

关键是第一步，
y＝sin^2 x＋2sinxcosx＋3cos^2 x=1+2cos^2 x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=√2sin（2x+π/4）
1）T=2π/w=π
2）-π/2+2kπ≤2x+π/4≤π/2+2kπ，k∈Z（此非常关键，不写Z就会扣一分）
3）这也是一个易错点，y=√2sin（2x+π/4）==√2sin2（x+π/8），要抽2出来
所以函数的图像可以由y＝√2sin2x，x∈R的图像左移π/8得来

Answer 2

y＝sin^2 x＋2sinxcosx＋3cos^2 x
=1+2cos²x+sin2x
=cos2x+sin2x+2
=√2sin(2x+π/4)+2
最小正周期为 2π/2=π
增区间：
2x+π/4∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]
x∈[kπ-3π/8,kπ+π/8]
所以在[kπ-3π/8,kπ+π/8] k∈z 上是增函数
y=√2sin(2x+π/4)+2
=√2sin[2(x+π/8)]+2
y＝√2sin2x
先向左平移π/8个单位
再向上平移2个单位得到

Answer 3

解y=2sinxcosx+3-2sin²x=sin2x+cos2x+2=√2sin(2x+π/4)+2=√2sin[2(x+π/8)]+2
1. 此函数 最小正周期 为π。
2.当2kπ-π/2≤2x+π/4≤2kπ+π/2，k∈Z时，此函数是增函数→kπ - 3π/8≤x≤kπ + π/8，k∈Z 故：当kπ - 3π/8≤x≤kπ + π/8，k∈Z时，此函数是增函数。
⑶函数的图像可以由y＝√2sin2x，x∈R的图像经过怎样的变换得出？
y＝√2sin2x左移π/8得y＝√2sin[2(x+π/8)]，再上移2单位得y＝√2sin[2(x+π/8)]+2

Answer 4

(1)∵y=(sinx)^2+2sinxcosx+3(cosx)^2
=1+sin2x+2(cosx)^2
=1+sin2x+(1+cos2x)
=2+√2sin(2x+π/4)
∴T=2π/2=π(2)
(2)∵y=sinx在区间[2kπ-π/2,2kπ+π/2]k∈Z,上是增函数，
∴由2kπ-π/2≦2x+π/4≦2kπ+π/2，得x∈[kπ-3π/8,kπ+π/8]
∴y =2+√2sin(2x+π/4)在[kπ-3π/8,kπ+π/8]上是增函数
(3)函数y =2+√2sin(2x+π/4)的图像可以由y＝√2sin2x按向量（-π/8，2）平移得到