Question

在直角坐标系已知点A(0,1)B(-4,4)将点B绕点A顺时针旋转90度得到点c顶点在坐标原点的抛物线经过点B

Answer 1

如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（-4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的抛物线经过点B．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1；
（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．

解：（1）设抛物线的解析式：y=ax2，
∵抛物线经过点B（-4，4），
∴4=a•42，解得a=1/4，
所以抛物线的解析式为：y=1/4x^2；
过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图，
∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C，
∴Rt△BAE≌Rt△ACD，
∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，
∴OD=AD+OA=5，
∴C点坐标为（3，5）；
（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图，
∵点P在抛物线y=14x2上，
∴b=14a2，
∴d1=14a2，
∵AF=OF-OA=PH-OA=d1-1=14a2-1，PF=a，
在Rt△PAF中，PA=d2=AF2+PF2=(14a2-1)2+a2
=14a2+1，
∴d2=d1+1；

（3）作直线y=1，过C点作y=1 的垂线，交抛物线于P点，则P即为所求的点．
由（1）得AC=5，
∴△PAC的周长=PC+PA+5
=PC+PH+6，
要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，
∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入y=14x2，得到y=94，
即P点坐标为（3，94），此时PC+PH=5，
∴△PAC的周长的最小值=5+6=11．

Answer 2

先算出过AB两点的直线方程的斜率K1=-3/4,所以过AC的直线斜率K2=4/3;根据模长相等算出点C的坐标C（X，Y）；然后设抛物线过这个点就可以算出P，最后得出方程