Question

函数y=√x+√1-x在(0,1)上的最大值为

答案是根号2，能不能写一下过程。 求导的方法。谢了

Answer 1

楼上为三角代换法1：注意角的范围t∈[0,π/2]
法2：平方后用均值
y^2=x+1-x+2√[x(1-x)]≤1+1=2
( 2√[x(1-x)]≤ x+(1-x) 均值定理，x=1-x,x=1/2时取等号）
∴0<y≤√2, ymax=√2
法3
求导：y'=1/(2√x)-1/[2√(1-x)]=1/2[1/√x-1/√(1-x)]
y'=0 ===> √x=√(1-x) ==>x=1/2
x∈ (0,1/2),y'>0,x∈(1/2,1),y'<0 ,x=1/2时，ymax=√2

Answer 2

不用求导，可设x=(cos(t))^2，则y=cos(t)+sin(t)=sqr(2)*sin(t+45°)