Question

设函数f(x)=1/3x^3-(a+1）x^2+4ax+24a,其中常数a>1. 试讨论方程f(x)=0在（0，正无穷）上的根的个数，

并求出相应的a的取值范围

Answer 1

f'(x)=x^2-2(a+1)x+4a=(x-2)(x-2a)=0, 得极值点x=2, 2a
因为a>1, f(x)在（0，2）递增，在（2，2a)递减，在（2a, +∞)递增
f(2)为极大值，f(2a)为极小值
f(0)=24a>0
f(2)=8/3-4(a+1)+8a+24a=28a-4/3>0
f(2a)=-4a^3/3+4a^2+24a=-4a/3*(a-6)(a+3)
若1<a<6, 则f(2a)>0,方程在（0，+∞）无实根
若a=6, 则f(2a)=0, 方程在（0，+∞）只有一个实根2a=12
若a>6, 则f(2a)<0, 方程在（0，+∞）上有2个实根。

Answer 2

解：f(x)=(x^3)/3-(a-1)x^2+4ax+24a
f'(x)=x^2-2(a+1)x+4a
令：f'(x)=0
即：x^2-2(a+1)x+4a=0
解此方程，有：x={2(a+1)±√[4(a+1)^2-16a]}/2
整理：x=a+1±(a+1)
解得：x1=2(a+1)＞0、x2=0
f(0)=24a＞0
f(2(a+1))=8[(a+1)^3]/3-4(a+1)^3+4a(a+1)+24a
=-4[(a+1)^3]/3+4a^2+28a
=(-4a^3-12a^2-12a-4+12a^2+84a)/3
=(-4a^3+72a-1)/3
令：f(2(a+1))＜0
有：-4a^3+72a-1＜0
4a^3-72a+1＞0
4a(a^2-18)＞-1
a^2-18＞-1/4
a^2＞71/4
a＞(√71)/2
即：当a＞(√71)/2时，f(2(a+1))＜0，此时f(x)在x∈(0，∞)上，有一个根；
当a≤(√71)/2时，f(2(a+1))≥0，此时f(x)在x∈(0，∞)上，没有根。