Question

请教一道定积分审敛性问题，谢谢！！

判断如下定积分的收敛性。希望有稍详细的过程，谢谢了！

Answer 1

做变量替换1/x=t，dx=--dt/t^2，t从正无穷到1，因此化为
积分（从1到正无穷）sint/t^(--a)*dt/t^2
=积分（从1到无穷）sint/t^(2--a)dt，于是
当2--a>1时绝对收敛，0<2--a<=1时条件收敛，2--a<=0时发散。

Answer 2

转换一下 令 1/X =Y
则积分变为 ∫ - Y^(a-2)*sinYdY ，从1积到正无穷。
讨论a
a=2时，积分变为 ∫ - sinYdY ，收敛函数
a>2时，发散
a<2时，收敛。

综合，a>2时发散，a<=2，收敛。