Question

2、如图1，已知双曲线 y1=kx(k＞0)与直线y2=k'x交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题： （1）若点

2、如图1，已知双曲线 y1=kx(k＞0)与直线y2=k'x交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题：
（1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为 （-4，-2）；当x满足：X＜-4或0＜X＜4时，y1＞y2；
（2）过原点O作另一条直线l，交双曲线 y=kx(k＞0)于P，Q两点，点P在第一象限，如图2所示．
①四边形APBQ一定是 平行四边形；
②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积；
③设点A、P的横坐标分别为m、n，四边形APBQ可能是矩形吗？若可能，求m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）因为正比例函数与反比例都关于原点成中心对称，所以B点的坐标为B（-4，-2）；
由两个函数都经过点A（4，2），可知双曲线的解析式为y1=8x，直线的解析式为y2=12x，
双曲线在每一象限y随x的增大而减小，直线y随x的增大而增大，
所以当x＜-4或0＜x＜4时，y1＞y2．

（2）①∵正比例函数与反比例函数都关于原点成中心对称，
∴OA=OB，OP=OQ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可知APBQ一定是平行四边形．
②∵A点的坐标是（3，1）
∴双曲线为y=3x，
所以P点坐标为（1，3），
过A作x轴的垂线CD交x轴于C，可得直角梯形OPDC，过P作PD⊥DC，垂足为D，
用直角梯形的面积减去直角三角形的面积可得三角形POA的面积为4，再用4×4得四边形APBQ为16．

③当mn=k时，此时A（m，n），P（n，m），∴OA=OP，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，所以四边形APBQ是矩形．

Answer 2

解：（1）（-4，-2）；（-m,- ）
(2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的，所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ一定是平行四边形
②可能是矩形，mn=k即可
不可能是正方形，因为Op不能与OA垂直.
解：（1）作BE⊥OA，
∴ΔAOB是等边三角形
∴BE=OB•sin60o= ，
∴B( ,2)
∵A(0,4),设AB的解析式为 ,所以 ,解得 ,的以直线AB的解析式为

（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o,
∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=
6. 解：（1）作BE⊥OA，∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB•sin60o= ，∴B( ,2)
∵A(0,4),设AB的解析式为 ,所以 ,解得 ,
以直线AB的解析式为
（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o,
∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=
如图，作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30°
∴GD= BD= ,DH=GH+GD= + = ,
∴GB= BD= ,OH=OE+HE=OE+BG=
∴D( , )
(3)设OP=x,则由（2）可得D( )若ΔOPD的面积为：
解得： 所以P( ,0)

Answer 3

（1）（-4，-2） x＜-4或0＜x＜4
（2）①平行四边形
②A（3,1）
y=3/x
P(1,3)
S△AOP=S△MOP+S梯PMNA-S△AON
=S梯PMNA
=1/2（3+1）*2
=4
S△APBQ=4*4=16
③A（m，k/m）P（n，k/n）
OA²=m²+k²/m² OP²=n²+k²/n²
若APBQ为矩形 OA=OP
m²+k²/m²=n²+k²/n²
（m²n²）k²=m²n²（m²-n²）
k²=m²n²
k=mn