Question

数学概率问题，超难，高手进。

某市公租房的房源位于A,B,C三个片区。设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：
（1）恰有两位申请A片区房源的概率；
（2）申请的房源所在的片区的个数X的分布列与期望。
求讲解，3Q

Answer 1

（1）任一人申请A区的概率：1/3 任一人申请不在A区(即为非A区)的概率:2/3
两位申请A片区的概率:1/3X1/3 另外2位申请非A区的概率为:2/3X2/3
4人中任选2人的组合:C(4,2)=4*3/2=6
于是所求为:6X1/3X1/3X2/3X2/3=8/27

(2)申请到的片区个数可能为1(4人同片区) ,2(4人分别在2片区),3(4人分别在3片区)

A.当申请片区个数为1时,即可能同为A或者B或者C(3种情况) 概率:3X1/3X1/3X1/3X1/3=1/27
B.当申请片区个数为2时,即只有两个片区被申,另一个没被申,C(3,2)=3，3种情况.
一个人申请到两个片区的概率为:2/3
则3X2/3X2/3X2/3X2/3=16/27
但是有4个人同时申请到一个区的可能包含在上面的可能里 (2个小区都可能装4个人),这部分的概率为:2X1/27=2/27
所以由上面两情况相减得片区个数为2时的概率,此时概率为 16/27-2/27=14/27
C.当申请片区个数为3时,即三个片区都被申请到了,此时概率为1-A-B=12/27

所以得 1 2 3
1/27 14/27 12/27
E=1X1/27+2X14/27+3X12/27=2.41

Answer 2

对于每个申请人来说，申请，A，B，C的概率都是1/3
1 对于每个申请人来说，申请A的概率是1/3，不申请A的概率就是2/3
恰有两位的情况有 四个里面挑两个 C(4,2)=6
所以第一问概率 6*（1/3*1/3*2/3*2/3）= 8/27
2 所在片区个数X的可能值有 1 2 3
对于每一个片区A B C 他们被申到的概率都是相等的
他们没被申到概率是 （2/3）^4=16/81
那被申到的概率就是1-16/81=65/81
当X=1 说明所有的申请人都申了同一片区 有A，B，C三种情况
此时的概率为 3*（1/3 ^ 4）=1/27=3/81
当X=2 说明只有两个片区被申到，即有一个没被申到，有三个里面挑两个 C(3,2)=3种情况
这里要扣除所有的申请人都申了同一片区的可能性，有两种
此时概率为 3*(2/3 ^ 4)-3/81*2=42/81
当X=3 说明都被申到了，就是剩下的概率1-45/81=36/81

期望就是3/81+2*42/81+3*36/81=2.41

Answer 3

C(a,b)表示从a选出b个的组合
（1）C(4,2)×2×2/（3×3×3×3）=24/81
（2） 1 2 3
3/81 42/81 36/81
E=3/81+84/81+108/81
=2.407407