Question

高中导数题

有题目有答案…步骤和书本差不多

Answer 1

导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；
两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1． 在区间 上的最大值是 2
2．已知函数 处有极大值，则常数c＝ 6 ；
3．函数 有极小值 －1 ,极大值 3

题型二：利用导数几何意义求切线方程
1．曲线 在点 处的切线方程是
2．若曲线 在P点处的切线平行于直线 ，则P点的坐标为 （1，0）
3．若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为
4．求下列直线的方程：
（1）曲线 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线 过点P(3,5)的切线；
解：（1）
所以切线方程为
（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为 ，则 ①又函数的导数为 ，
所以过 点的切线的斜率为 ，又切线过 、P(3,5)点，所以有 ②，由①②联立方程组得， ，即切点为（1，1）时，切线斜率为 ；当切点为（5，25）时，切线斜率为 ；所以所求的切线有两条，方程分别为

题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值

1．已知函数 的切线方程为y=3x+1
（Ⅰ）若函数 处有极值，求 的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 在[－3，1]上的最大值；
（Ⅲ）若函数 在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围
解：（1）由
过 的切线方程为：

而过
故
∵ ③
由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴
（2）
当
又 在[－3，1]上最大值是13。
（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又 由①知2a+b=0。
依题意 在[－2，1]上恒有 ≥0，即
①当 ；
②当 ；
③当
综上所述，参数b的取值范围是
2．已知三次函数 在 和 时取极值，且 ．
(1) 求函数 的表达式；
(2) 求函数 的单调区间和极值；
(3) 若函数 在区间 上的值域为 ，试求 、 应满足的条件．
解：(1) ，
由题意得， 是 的两个根，解得， ．
再由 可得 ．∴ ．
(2) ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
当 时， ．∴函数 在区间 上是增函数；
在区间 上是减函数；在区间 上是增函数．
函数 的极大值是 ，极小值是 ．
(3) 函数 的图象是由 的图象向右平移 个单位，向上平移4 个单位得到的，
所以，函数 在区间 上的值域为 （ ）．
而 ，∴ ，即 ．
于是，函数 在区间 上的值域为 ．
令 得 或 ．由 的单调性知， ，即 ．
综上所述， 、 应满足的条件是： ，且 ．

3．设函数 ．
（1）若 的图象与直线 相切，切点横坐标为2，且 在 处取极值，求实数 的值；
（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数 总有两个不同的极值点．
解：（1）
由题意 ，代入上式，解之得：a=1，b=1．　　
（2）当b=1时， 　　　　　　　
因 故方程有两个不同实根 ．　　
不妨设 ，由 可判断 的符号如下：
当 ＞0；当 ＜0；当 ＞0
因此 是极大值点， 是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数 总有两个不同的极值点。

题型四：利用导数研究函数的图象
1．如右图：是f（x）的导函数， 的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ D ）

（A） （B） （C） （D）
2．函数 ( A )

3．方程 ( B )
A、0 B、1 C、2 D、3

题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
1．设函数
（1）求函数 的单调区间、极值.
（2）若当 时，恒有 ，试确定a的取值范围.
解：（1） = ，令 得
列表如下：
x （-∞，a） a （a，3a） 3a （3a，+∞）

- 0 + 0 -

极小
极大

∴ 在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减
时， ， 时，
（2） ∵ ，∴对称轴 ，
∴ 在[a+1，a+2]上单调递减
∴ ，
依题 ， 即
解得 ，又 ∴a的取值范围是

2．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ 与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。
解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b
由f（ ）＝ ，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝ ，b＝－2
f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
x （－，－ ）
－
（－ ，1）
1 （1，＋）
f（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x）  极大值  极小值 
所以函数f（x）的递增区间是（－，－ ）与（1，＋），递减区间是（－ ，1）
（2）f（x）＝x3－ x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－ 时，f（x）＝ ＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2

题型六：利用导数研究方程的根
1．已知平面向量 =( ,－1). =( , ).
（1）若存在不同时为零的实数k和t，使 = +(t2－3) ， =-k +t ， ⊥ ，
试求函数关系式k=f(t) ；
(2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.
解：(1)∵ ⊥ ，∴ =0 即[ +(t2-3) ]•(-k +t )=0.
整理后得-k +[t-k(t2-3)] + (t2-3)• =0
∵ =0， =4， =1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k= t(t2-3)
(2)讨论方程 t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数.
于是f′(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：
t (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ ∞)
f′(t) + 0 - 0 +
F(t) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值= .
当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－
函数f(t)= t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，
可观察出：
(1)当k＞ 或k＜－ 时,方程f(t)－k=0有且只有一解；
(2)当k= 或k=－ 时,方程f(t)－k=0有两解；
(3) 当－ ＜k＜ 时,方程f(t)－k=0有三解.

题型七：导数与不等式的综合　
1．设 在 上是单调函数.
（1）求实数 的取值范围；
（2）设 ≥1， ≥1，且 ，求证： .
解：（1） 若 在 上是单调递减函数，则须 这样的实数a不存在.故 在 上不可能是单调递减函数.
若 在 上是单调递增函数，则 ≤ ，
由于 .从而0<a≤3.
（2）方法1、可知 在 上只能为单调增函数. 若1≤ ，则 若1≤ 矛盾，故只有 成立.
方法2：设 ， 两式相减得 ≥1,u≥1，
，

2．已知 为实数，函数
（1）若函数 的图象上有与 轴平行的切线，求 的取值范围
（2）若 ，（Ⅰ）求函数 的单调区间
（Ⅱ）证明对任意的 ，不等式 恒成立
解： ，
函数 的图象有与 轴平行的切线， 有实数解
， ，所以 的取值范围是
， ， ，
由 或 ；由
的单调递增区间是 ；单调减区间为
易知 的最大值为 ， 的极小值为 ，又
在 上的最大值 ，最小值
对任意 ，恒有

题型八：导数在实际中的应用
1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心 的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为 ，则
由题设可得正六棱锥底面边长为： ，（单位： ）
故底面正六边形的面积为： = ，（单位： ）
帐篷的体积为： （单位： ）
求导得 。
令 ，解得 （不合题意，舍去）， ，
当 时， ， 为增函数；
当 时， ， 为减函数。
∴当 时， 最大。
答：当OO1为 时，帐篷的体积最大，最大体积为 。

2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 （升）关于行驶速度 （千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米。
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解：（I）当 时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，
要耗没 （升）。
（II）当速度为 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为 升，
依题意得

令 得
当 时， 是减函数；
当 时， 是增函数。
当 时， 取到极小值
因为 在 上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

题型九：导数与向量的结合
1．设平面向量 若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使
（1）求函数关系式 ；
（2）若函数 在 上是单调函数，求k的取值范围。
解：（1）

（2）
则在 上有
由 ；
由 。
因为在t∈ 上 是增函数，所以不存在k，使 在 上恒成立。故k的取值范围是 。

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