Question

已知数列an中,a1=1,an+1=2an/（3+2an）(n≥1),求an

全过程

Answer 1

解：
a(n+1)=2an/(3+2an)
1/a(n+1)=(2an +3)/(2an)=1+3/(2an)
1/a(n+1)+2=3/(2an)+3
[1/a(n+1)+2]/(1/an+2)=3/2，为定值。
1/a1+2=1/1+2=3
数列{1/an +2}是以3为首项，3/2为公比的等比数列
1/an +2=3×(3/2)^(n-1)
1/an=3×(3/2)^(n-1) -2
an=1/[3×(3/2)^(n-1) -2]=2^(n-1)/(3^n -2^n)
n=1时，a1=2^0/(3-2)=1/1=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)/(3^n-2^n)

Answer 2

两边取倒数得1/an+1=1+3/2an,然后1/an+1+C=3/2*(1/an+C),解出C=2，构成新的等比数例，求出等比数例的通项公式，从而求得an=1/[3*(3/2)n-1 --2]。