Question

一道功能关系的大学物理题

发射地球同步卫星需要利用“霍曼轨道”。设发射一颗质量为500kg的地球同步卫星，先把它发射到高度为1400km的停泊轨道上，然后利用火箭推力是她沿停泊轨道的切线方向进入霍曼轨道。霍曼轨道远地点及同步高度36 000km，在此高度上利用火箭推力使之进入同步轨道，试求：1）先后两次火箭推力给予卫星的能量各是多少2）先后两次的推力使卫星速率增加多少？

图：中心的圆是停泊轨道，大圆是同步轨道，椭圆是霍曼轨道。

Answer 1

这题不难，我把方法告诉你，我没计算器，自己代入数值计算吧！

先设几个参数：万有引力常数为G，地球质量为M，卫星质量为m，地球半径为R，轨道高度为r,r'，卫星速度为v,v'动能大小为E,E'。

首先由万有引力提供轨道向心力可得

GMm/(R+r)^2=mv^2/r

于是获得第一次停留轨道的速度

v^2=GM/(R+r)，

于是可得获得的动能

E=mv^2/2=GMm/2(R+r)

同理可得同步轨道的运行速度

v'^2=GM/(R+r')

所获的动能为

E'=GMm/2(R+r'),

这个动能完全来自火箭，由0加速而来，E为第一次火箭提供的能量，E'-E为第二次火箭提供的能量，两次速度分别就是v和v'。

同步轨道的运行速度还有一个计算方法，同步卫星的运行周期为24小时，高度为（R+r'），所以线速度为2π(R+r')/(24*3600),如果地球质量为为质量，则可求得地球质量。

M=v'^2*(R+r)/G

注意，以上是假设停泊轨道为圆形轨道求得的。