已知函数f(x)=ax+a/x-3lnx 若f(X)在【2,e】上单调递增,求实数a的取值范围
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先对f(x)求导得f‘(x)=(ax^2-3x-a)/x^2,要使f(X)在【2,e】上单调递增则f‘(x)=(ax^2-3x-a)/x^2在【2,e】上恒大于等于0。设g(x)=ax^2-3x-a即求g(x)在【2,e】恒大于等于0,a的范围, g(x)的判别式为根号(9+4^2)恒大于0,g(x)的两根为x1=(3-√(a^2+9))/2a,x2=x=(3+√(a^2+9))/2a
1、若a>0,由题有x1>=e或x2<=2推出a>=3e/(e^2-1)或a<=2
2、若a<0,f‘(2)=3a-6>=0推出a>=2与a<0矛盾,同理f‘(e)>=0与a<0也矛盾
3、a=0时f‘(2)<0不满足
综上:a的取值范围为a>=3e/(e^2-1)或0<a<=2
1、若a>0,由题有x1>=e或x2<=2推出a>=3e/(e^2-1)或a<=2
2、若a<0,f‘(2)=3a-6>=0推出a>=2与a<0矛盾,同理f‘(e)>=0与a<0也矛盾
3、a=0时f‘(2)<0不满足
综上:a的取值范围为a>=3e/(e^2-1)或0<a<=2
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