Question

已知函数f(x)=ax+a/x-3lnx 若f(X)在【2,e】上单调递增,求实数a的取值范围

Answer 1

先对f（x）求导得f‘(x)=（ax^2-3x-a)/x^2,要使f(X)在【2,e】上单调递增则f‘(x)=（ax^2-3x-a)/x^2在【2,e】上恒大于等于0。设g（x）=ax^2-3x-a即求g（x）在【2,e】恒大于等于0，a的范围， g（x）的判别式为根号（9+4^2)恒大于0，g（x）的两根为x1=(3-√(a^2+9))/2a，x2=x=(3+√(a^2+9))/2a
1、若a>0,由题有x1>=e或x2<=2推出a>=3e/(e^2-1)或a<=2
2、若a<0,f‘(2)=3a-6>=0推出a>=2与a<0矛盾，同理f‘(e）>=0与a<0也矛盾
3、a=0时f‘(2）<0不满足
综上：a的取值范围为a>=3e/(e^2-1)或0<a<=2