Question

已知动点P（x,y）在椭圆x*2/25+y*2/16=1上，若A点的坐标（3,0）,向量│AM│=1,且向量PM*向量AM=0,

,则向量│PM│的最小值为？
答案清楚点，谢谢。

Answer 1

设x=5cosa y=4sina
│AM│=1 ∴M点轨迹是以A（3,0）为圆心 1为半径的圆
PM*向量AM=0, 说明PM⊥AM PM为圆切线
由切线长公式 │PM│²=(x-3)²+y²-1=(5cosa-3)²+(4sina)²-1=9cos²a-30cosa+24
令t=cosa∈[-1,1] 画图可知 cosa=1时 │PM│²有最小值=3
∴│PM│的最小值=√3

追问

有没有其他解法，不带三角函数的，谢谢

追答

也有啊！ 不过算起来麻烦 我就写个思路吧
P（x,y）在椭圆x*2/25+y*2/16=1上 ∴y²=16- (16x²/25)
切线长公式 │PM│²=(x-3)²+y²-1=(x-3)²+16- (16x²/25)-1 整理后是关于x的二次三项式
P（x,y）在椭圆上 ∴x∈[-5,5] 即pm² 的最小值就是求在x∈[-5,5] (x-3)²+16- (16x²/25)-1的最小值 画个抛物线的图 就很容易求最小值了 PM最小值= 根号（ PM²）可求

追问

好吧，谢谢这位老师。

Answer 2

M(3,1) y=1代入椭圆方程，x=4分之5根号15
│PM│的最小值为（4分之5根号15）- 3

追问

话说你写的这个看不懂，

追答

不好意思啊，没考虑全面