Question

设D是由不等式|x|+|y|≤1所确定的有界闭区域，求二重积分∫∫（|x|+y）dxdy

Answer 1

区域|x|+|y|≤1关于坐标轴对称，被积函数中的y是奇函数，因此积分结果为0.
∫∫（|x|+y）dxdy
=∫∫|x|dxdy
由于函数 |x| 关于x和y均为偶函数，用两次偶函数性质
=4∫∫ x dxdy 积分区域为D1：|x|+|y|≤1的第一象限部分，因为是第一象限，所以绝对值可去掉
积分区域D1由x=0，y=0，x+y=1所围成
=4∫[0--->1]dx∫[0---->1-x] x dy
=4∫[0--->1] x(1-x) dx
=4∫[0--->1] (x-x²) dx
=4(1/2)x²-4(1/3)x³ [0--->1]
=2/3