Question

设函数f(x)=-1/3x^3+2ax^2-3a^2x+b,0<a<1 当x=1/2时,f(x)有极小值1/3,求a,b的值

Answer 1

f'(x)=-x^2+4ax-3a^2=-(x-a)(x-3a)
得极值点为x=a, 3a
因为0<a<1, 所以a<3a
所以极小值点为x=a,
即a=1/2
极小值=f(1/2)=-1/3*1/8+1/4-3/8+b=1/3
解得：b=1/2

Answer 2

先对函数f(x)求导，导数为：-x^2+4ax-3a^2
当x=1/2，导数为零，即-1/4+2a-3a^2=0
推得a=1/2 或 a=1/6
当a=1/2时，x=1/2，代入函数中，得等式：
-1/24+1/4-3/8+b=0,解得 b=-1/6
当a=1/6时，x=1/2，代入函数中，得等式：
-1/3*1/2^3+2*1/6*1/4-3*1/36*1/2+b=0,解得b=0
所以当a=1/2时，b=-1/6
当a=1/6时，b=0