Question

已知函数f(x)=(1/3)^x,x∈[-1,1]函数g(x)=f^2(x)-2af(x)+3的最小值为h(a)

(1)求h(a)
(2)是否存在实数m n同时满足
1 m>n>3
2 当h(a)的定义域[n,m]为值域为[n^2,m^2]

Answer 1

解：
(1)
f(x)＝(1/3)^x，x∈[－1，1]
知f(x)∈[1/3，3]
令f(x)∈[1/3，3]
记g(x)＝y＝t²－2at＋3，则g(x)的对称轴为t＝a，故有：
①当a ≤ 1/3时，g(x)的最小值h(a)＝(28/9)－(2a/3)
②当a ≥ 3时，g(x)的最小值h(a)＝12－6a
③当1/3＜a＜3时，g(x)的最小值h(a)＝3－a²
综上所述：
h(a)＝
{(28/9)－(2a/3)，a ≤ 1/3
{3－a²，1/3＜a＜3
{12－6a，a ≥ 3

(2)
当a ≥ 3时，h(a)＝－6a＋12
故m＞n＞3时，h(a)在[n，m]上为减函数
∴h(a)在[n，m]上的值域为[h(m)，h(n)]
由题意，则
{h(m)＝n²
{h(n)＝m²
{－6m＋12＝n²
{－6n＋12＝m²
两式相减得：
6n－6m＝n²－m²
又m≠n，
∴m＋n＝6
这与m＞n＞3矛盾
∴不存在满足题中条件的m，n的值