Question

已知函数f(x)=(1/3)^x,x属于[-1,1 ],函数g(x)= [f(x) ]^2-2af(x)+3的最小值为h(a)

（1）当a＞=1时，求h(a)
(2)是否存在实数m，同时满足1：m>n>3，2：当h(a)的定义域【n,m】时，值域【n^2,m^2】是否存在 ，若存在求出m,n的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

(1)
首先求出f(x)的范围为[1/3,3]
g(x)=(f(x)-a)^2+3-a^2
是开口向上，对称轴为f(x)=a的二次函数
此时若a在此函数的定义域内[1/3,3]，则f(x)=a时，g(x)最小
即1<=a<=3时，h(a)=(a-a)^2+3-a^2=3-a^2
当a>3时，f(x)=3时，g(x)最小，h(a)=12-6a
(2)
当m>n>3，且h(a)的定义域【n,m】时，
由（1）问可知，h(a)=12-6a
h(a)单调递减，此时若值域为【n^2,m^2】，
则需要满足方程组
h(n)=m^2
h(m)=n^2
又m>n>3
所以h(m),h(n)均小于-6
而n^2,m^2均大于9
所以无法满足上述方程组
所以m,n不存在

以上