Question

已知函数f(x)=(1/3)^x,x∈[-1,1]函数g(x)=f^2(x)-2af(x)+3的最小值为h(a)1)求h？

Answer 1

(1)
f(x)＝(1/3)^x,x∈[－1,1]
知f(x)∈[1/3,3]
令f(x)∈[1/3,3]
记g(x)＝y＝t²－2at＋3,则g(x)的对称轴为t＝a,故有：
①当a ≤ 1/3时,g(x)的最小值h(a)＝(28/9)－(2a/3)
②当a ≥ 3时,g(x)的最小值h(a)＝12－6a
③当1/3＜a＜3时,g(x)的最小值h(a)＝3－a²
综上所述：
h(a)＝
{(28/9)－(2a/3),a ≤ 1/3
{3－a²,1/3＜a＜3
{12－6a,a ≥ 3
(2)
当a ≥ 3时,h(a)＝－6a＋12
故m＞n＞3时,h(a)在[n,m]上为减函数
∴h(a)在[n,m]上的值域为[h(m),h(n)]
由题意,则
{h(m)＝n²
{h(n)＝m²
{－6m＋12＝n²
{－6n＋12＝m²
两式相减得：
6n－6m＝n²－m²
又m≠n,
∴m＋n＝6
这与m＞n＞3矛盾
∴不存在满足题中条件的m,n的值,10,已知函数f(x)=(1/3)^x,x∈[-1,1]函数g(x)=f^2(x)-2af(x)+3的最小值为h(a)1)求h(a) (2)是否存在实数m n同时