已知函数f(x)=(1/3)^x,x∈[-1,1]函数g(x)=f^2(x)-2af(x)+3的最小值为h(a)1)求h?
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(1)
f(x)=(1/3)^x,x∈[-1,1]
知f(x)∈[1/3,3]
令f(x)∈[1/3,3]
记g(x)=y=t²-2at+3,则g(x)的对称轴为t=a,故有:
①当a ≤ 1/3时,g(x)的最小值h(a)=(28/9)-(2a/3)
②当a ≥ 3时,g(x)的最小值h(a)=12-6a
③当1/3<a<3时,g(x)的最小值h(a)=3-a²
综上所述:
h(a)=
{(28/9)-(2a/3),a ≤ 1/3
{3-a²,1/3<a<3
{12-6a,a ≥ 3
(2)
当a ≥ 3时,h(a)=-6a+12
故m>n>3时,h(a)在[n,m]上为减函数
∴h(a)在[n,m]上的值域为[h(m),h(n)]
由题意,则
{h(m)=n²
{h(n)=m²
{-6m+12=n²
{-6n+12=m²
两式相减得:
6n-6m=n²-m²
又m≠n,
∴m+n=6
这与m>n>3矛盾
∴不存在满足题中条件的m,n的值,10,已知函数f(x)=(1/3)^x,x∈[-1,1]函数g(x)=f^2(x)-2af(x)+3的最小值为h(a)1)求h(a) (2)是否存在实数m n同时
f(x)=(1/3)^x,x∈[-1,1]
知f(x)∈[1/3,3]
令f(x)∈[1/3,3]
记g(x)=y=t²-2at+3,则g(x)的对称轴为t=a,故有:
①当a ≤ 1/3时,g(x)的最小值h(a)=(28/9)-(2a/3)
②当a ≥ 3时,g(x)的最小值h(a)=12-6a
③当1/3<a<3时,g(x)的最小值h(a)=3-a²
综上所述:
h(a)=
{(28/9)-(2a/3),a ≤ 1/3
{3-a²,1/3<a<3
{12-6a,a ≥ 3
(2)
当a ≥ 3时,h(a)=-6a+12
故m>n>3时,h(a)在[n,m]上为减函数
∴h(a)在[n,m]上的值域为[h(m),h(n)]
由题意,则
{h(m)=n²
{h(n)=m²
{-6m+12=n²
{-6n+12=m²
两式相减得:
6n-6m=n²-m²
又m≠n,
∴m+n=6
这与m>n>3矛盾
∴不存在满足题中条件的m,n的值,10,已知函数f(x)=(1/3)^x,x∈[-1,1]函数g(x)=f^2(x)-2af(x)+3的最小值为h(a)1)求h(a) (2)是否存在实数m n同时
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