Question

在等比数列{an}中，a1＞1,且公比q＞0.设bn=log2 an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.

1.求证：数列{bn}是等差数列。
2.求{bn}的前n项和sn及{an}的通项公式an
3是比较an与sn的大小

Answer 1

b1+b3+b5=log2 (a1*a3*a5)=6
a1*a3*a5=2^6
a1^3*q^6=2^6…………①

b1b3b5=0
a1＞1
则a3,a5中有一个数是1
设a3=1,经计算不合适
设a5=1,则a1*q^4=1,a1=q^(-4),a1^3=q^(-12)……②

把②式代入①式可得q=1/2,a1=16

{an}的通项公式an
所以an=16*2^(1-n)

求证：数列{bn}是等差数列
bn=log2 [16*2^(1-n)]=4+(n-1)*(-1)
所以bn是首项为4，公差为-1的等差数列

{bn}的前n项和sn
sn=n(9-n)/2

比较an与sn的大小
当n=1时，a1=16>s1=4
当n=2时，a2=8>s2=7
当n=3时，a3=4<s3=9
当n=4时，a4=2<s4=10
……….
当n=7时，a7=1/4<s7=7/2
当n=8时，a7=1/8>s7=0
…………
当n>=8时，an>sn,因为an>0,sn<=0

综上，
当n=1,2或n>=8时，an>sn
当3<=n<=7时，an<sn

解毕