Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，角ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1

（1）求证BC⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所称二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围

Answer 1

（1）在梯形ABCD中，过点D作DK//BC，交AB于K，则三角形ADK为正三角形，∠BAC=30度，∠ACB=90度，因此AB=2。
因为四边形ACFE为矩形，所以CF⊥AC；因此平面ABCD与平面ACFE所成的二面角为∠BCF；
因为平面ACFE⊥平面ABCD，所以∠BCF=90度。因此BC⊥平面ACFE。（BC⊥CF，BC⊥AC）
（2）当M点运动到点E时，两个平面所成的二面角为∠BAC=30度；
当M点运动到点F时：
因为△ABC≌△AFC，所以AB=AF，过点A作AP⊥BF交BF于P，则P是BF的中点，连CP，
因为CF=CB=1，所以CP⊥BF，因此所成的二面角为`∠APC，
又在△BCF中可求得，CP=√2/2，在△ABP中求得AP=√14/2
注意到AC⊥平面BCF，得cos∠APC=√7/7；又cos30度=√3/2，
所以√7/7≤cosθ≤√3/2