Question

如图，抛物线y=x²-2x+x与x轴交与A、B两点，与y轴交与C（0，-3）

1.k=______，点A的坐标为______
2.设抛物线y=x²-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积
3.在X轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABMC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

1、把C(0，-3)代入抛物线方程得k=-3
令y=0得：x²-2x-3=0
x1=-1，x2=3
A(-1，0)

2、
y=x²-2x-3=(x-1)²-4
M(1，-4)
过M作ME⊥x轴，交点为E
ME=4，BE=AE=2
S△BME=1/2*BE*ME=1/2*2*4=4
S△CME=1/2*4*1=2
S△ACE=1/2*AE*OC=1/2*2*3=3
S四边形ABMC=4+2+3=9

3、
设D点坐标(a，a²-2a-3)
S四边形ABMD=S△AMB+S△ADM(或BDM)
S△AMB为定值
当过D点的切线平行于直线AM时，S△ADM最大
直线AM方程：y=-2x-2
因此，设过D点的切线方程：y=-2x+k，则切线平行于AM
把切线方程代入抛物线方程，得：
-2x+k=x²-2x-3
x²-3-k=0
方程只应有一个根，所以判别式=0
所以k=-3
x=0
D点坐标(0，-3)
根据对称性，另一坐标为(2,-3)