Question

设a,b,c为某三角形三边长，求证a^2(b+c-a) + b^2(c+a-b) + c^2(a+b-c)小于等于3abc

Answer 1

排序不等式

设a≥b≥c

可知a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c),

排序不等式：倒序小于乱序

a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤ba(b+c-a)+cb(c+a-b)+ac(a+b-c)

a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤ca(b+c-a)+ab(c+a-b)+bc(a+b-c)

两式相加

2[a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)]≤ba(b+c-a)+cb(c+a-b)+ac(a+b-c)

+ca(b+c-a)+ab(c+a-b)+bc(a+b-c)

=b^2a+abc-a^2b+c^2b+abc-b^2c+a^2c+abc-c^2a+abc+c^2a-a^2c+abc+a^2b-ab^2+abc+b^2c-bc^2=6abc

所以a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)<=3abc

基本性质

①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）

②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）

③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）

④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）

⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)

⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；

⑦如果x>y>0，xn>yn（n为正数)，xn<yn（n为负数）。

Answer 2

解一：排序不等式
设a≥b≥c
可知a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c),
排序不等式：倒序小于乱序
a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤ba(b+c-a)+cb(c+a-b)+ac(a+b-c)
a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤ca(b+c-a)+ab(c+a-b)+bc(a+b-c)
两式相加
2[a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)]≤ba(b+c-a)+cb(c+a-b)+ac(a+b-c)
+ca(b+c-a)+ab(c+a-b)+bc(a+b-c)
=b^2a+abc-a^2b+c^2b+abc-b^2c+a^2c+abc-c^2a+abc+c^2a-a^2c+abc+a^2b-ab^2+abc+b^2c-bc^2=6abc
所以a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)<=3abc
解二：
原式=b(a^2-b^2+c^2)+c(a^2+b^2-c^2)+a(c^2-a^2+b^2)
=2abccosB+2abccosC+2abccosA<=3abc
即证cosA+cosB+cosC<=3/2这个不难证明
法三证明: 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，则
abc=(x+y)(y+z)(z+x)
≥8√xy*√yz*√xz
=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)-2abc.
所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc

Answer 3

呵呵