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第一个问题：
显然，△ABO是以AB为斜边的直角三角形，又M是AB的中点，且｜向量OM｜＝√5/2，
∴｜OM｜＝√5/2，∴｜AB｜＝√5。
由勾股定理，有：｜OA｜^2＋｜OB｜^2＝｜AB｜^2，∴a^2＋b^2＝5。······①
∵e＝c/a＝√3/2，∴2c＝√3a，∴4c^2＝3a^2，∴4（a^2－b^2）＝3a^2，∴a^2＝4b^2。······②
将②代入到①中，得：4b^2＋b^2＝5，∴b^2＝1，∴a^2＝4。
∴满足条件的椭圆方程是：x^2/4＋y^2＝1。
第二个问题：
一、当直线PQ⊥x轴时，PQ的方程显然为：x＝－1。
令x^2/4＋y^2＝1中的x＝－1，得：1/4＋y^2＝1，∴y^2＝3/4，∴y1＝√3/2、y2＝－√3/2。
不失一般性，设P在x轴的上方，则Q在x轴的下方，
∴点P、Q的坐标分别是（－1，√3/2）、（－1，－√3/2）。
设点（－1，0）为C，则：｜OC｜＝1、点P、Q到OC的距离都是√3/2。
∴△POC的面积＝△QOC的面积＝（1/2）｜OC｜×（√3/2）＝√3/4。
∴△POQ的面积＝△POC的面积＋△QOC的面积＝2△POC的面积＝√3/2。
二、当PQ有斜率时，斜率不为0，否则P、O、Q共线，无法构成三角形。
当PQ有非零斜率时，令斜率为k，得：l 的方程为：y＝k（x＋1）＝kx＋k。
∵点P、Q都在直线y＝kx＋k上，∴可令P、Q的坐标分别为（m，km＋k）、（n，kn＋k）。
联立：y＝kx＋k、x^2/4＋y^2＝1，消去y，得：x^2/4＋（kx＋k）^2＝1，
∴x^2＋4k^2x^2＋8k^2x＋4k^2－1＝0，∴（1＋4k^2）x^2＋8k^2x＋4k^2－1＝0。
显然，m、n是方程（1＋4k^2）x^2＋8k^2x＋4k^2－1＝0的根，∴由韦达定理，有：
m＋n＝－8k^2/（1＋4k^2）、mn＝（4k^2－1）/（1＋4k^2）。
由两点间的距离公式，有：
｜PQ｜＝√［（m－n）^2＋（km＋k－kn－k）^2］＝√［（1＋k^2）（m－n）^2］。
由PQ的方程y＝kx＋k，得：kx－y＋k＝0。
由点到直线间的距离公式，有：点O到PQ的距离d＝｜k｜/√（k^2＋1）。
于是：
△POQ的面积
＝（1/2）｜PQ｜d＝（1/2）［｜k｜/√（k^2＋1）］√［（1＋k^2）（m－n）^2］
＝（1/2）｜k｜√（m－n）^2＝（1/2）｜k｜√［（m＋n）^2－4mn］
＝（1/2）｜k｜√｛［－8k^2/（1＋4k^2）］^2－4（4k^2－1）/（1＋4k^2）｝
＝｜k｜√｛［4k^2/（1＋4k^2）］^2－（4k^2－1）/（1＋4k^2）｝
＝｜k｜√［16k^4－（16k^4－1）］/（1＋4k^2）＝｜k｜/（1＋4k^2）
＝1/（4｜k｜＋1/｜k｜）。
∵4｜k｜｜1/｜k｜≧2√［4｜k｜（1/｜k｜）］＝4，∴1/（4｜k｜＋1/｜k｜）≦1/4。
∴当4｜k｜＝1/｜k｜时，△POQ的面积有最大值为1/4。
由4｜k｜＝1/｜k｜，得：｜k｜＝1/4，∴k＝1/2，或k＝－1/2。
∴当△POQ的面积有最大值时，直线 l 的方程是：
y＝（1/2）（x＋1），或y＝－（1/2）（x＋1），
即是：x－2y＋1＝0，或x＋2y＋1＝0。
显然，△ABO是以AB为斜边的直角三角形，又M是AB的中点，且｜向量OM｜＝√5/2，
∴｜OM｜＝√5/2，∴｜AB｜＝√5。
由勾股定理，有：｜OA｜^2＋｜OB｜^2＝｜AB｜^2，∴a^2＋b^2＝5。······①
∵e＝c/a＝√3/2，∴2c＝√3a，∴4c^2＝3a^2，∴4（a^2－b^2）＝3a^2，∴a^2＝4b^2。······②
将②代入到①中，得：4b^2＋b^2＝5，∴b^2＝1，∴a^2＝4。
∴满足条件的椭圆方程是：x^2/4＋y^2＝1。
第二个问题：
一、当直线PQ⊥x轴时，PQ的方程显然为：x＝－1。
令x^2/4＋y^2＝1中的x＝－1，得：1/4＋y^2＝1，∴y^2＝3/4，∴y1＝√3/2、y2＝－√3/2。
不失一般性，设P在x轴的上方，则Q在x轴的下方，
∴点P、Q的坐标分别是（－1，√3/2）、（－1，－√3/2）。
设点（－1，0）为C，则：｜OC｜＝1、点P、Q到OC的距离都是√3/2。
∴△POC的面积＝△QOC的面积＝（1/2）｜OC｜×（√3/2）＝√3/4。
∴△POQ的面积＝△POC的面积＋△QOC的面积＝2△POC的面积＝√3/2。
二、当PQ有斜率时，斜率不为0，否则P、O、Q共线，无法构成三角形。
当PQ有非零斜率时，令斜率为k，得：l 的方程为：y＝k（x＋1）＝kx＋k。
∵点P、Q都在直线y＝kx＋k上，∴可令P、Q的坐标分别为（m，km＋k）、（n，kn＋k）。
联立：y＝kx＋k、x^2/4＋y^2＝1，消去y，得：x^2/4＋（kx＋k）^2＝1，
∴x^2＋4k^2x^2＋8k^2x＋4k^2－1＝0，∴（1＋4k^2）x^2＋8k^2x＋4k^2－1＝0。
显然，m、n是方程（1＋4k^2）x^2＋8k^2x＋4k^2－1＝0的根，∴由韦达定理，有：
m＋n＝－8k^2/（1＋4k^2）、mn＝（4k^2－1）/（1＋4k^2）。
由两点间的距离公式，有：
｜PQ｜＝√［（m－n）^2＋（km＋k－kn－k）^2］＝√［（1＋k^2）（m－n）^2］。
由PQ的方程y＝kx＋k，得：kx－y＋k＝0。
由点到直线间的距离公式，有：点O到PQ的距离d＝｜k｜/√（k^2＋1）。
于是：
△POQ的面积
＝（1/2）｜PQ｜d＝（1/2）［｜k｜/√（k^2＋1）］√［（1＋k^2）（m－n）^2］
＝（1/2）｜k｜√（m－n）^2＝（1/2）｜k｜√［（m＋n）^2－4mn］
＝（1/2）｜k｜√｛［－8k^2/（1＋4k^2）］^2－4（4k^2－1）/（1＋4k^2）｝
＝｜k｜√｛［4k^2/（1＋4k^2）］^2－（4k^2－1）/（1＋4k^2）｝
＝｜k｜√［16k^4－（16k^4－1）］/（1＋4k^2）＝｜k｜/（1＋4k^2）
＝1/（4｜k｜＋1/｜k｜）。
∵4｜k｜｜1/｜k｜≧2√［4｜k｜（1/｜k｜）］＝4，∴1/（4｜k｜＋1/｜k｜）≦1/4。
∴当4｜k｜＝1/｜k｜时，△POQ的面积有最大值为1/4。
由4｜k｜＝1/｜k｜，得：｜k｜＝1/4，∴k＝1/2，或k＝－1/2。
∴当△POQ的面积有最大值时，直线 l 的方程是：
y＝（1/2）（x＋1），或y＝－（1/2）（x＋1），
即是：x－2y＋1＝0，或x＋2y＋1＝0。
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显然，△ABO是以AB为斜边的直角三角形，又M是AB的中点，且｜向量OM｜＝√5/2，
∴｜OM｜＝√5/2，∴｜AB｜＝√5。
由勾股定理，有：｜OA｜^2＋｜OB｜^2＝｜AB｜^2，∴a^2＋b^2＝5。······①
∵e＝c/a＝√3/2，∴2c＝√3a，∴4c^2＝3a^2，∴4（a^2－b^2）＝3a^2，∴a^2＝4b^2。······②
将②代入到①中，得：4b^2＋b^2＝5，∴b^2＝1，∴a^2＝4。
∴满足条件的椭圆方程是：x^2/4＋y^2＝1。
第二个问题：
一、当直线PQ⊥x轴时，PQ的方程显然为：x＝－1。
令x^2/4＋y^2＝1中的x＝－1，得：1/4＋y^2＝1，∴y^2＝3/4，∴y1＝√3/2、y2＝－√3/2。
不失一般性，设P在x轴的上方，则Q在x轴的下方，
∴点P、Q的坐标分别是（－1，√3/2）、（－1，－√3/2）。
设点（－1，0）为C，则：｜OC｜＝1、点P、Q到OC的距离都是√3/2。
∴△POC的面积＝△QOC的面积＝（1/2）｜OC｜×（√3/2）＝√3/4。
∴△POQ的面积＝△POC的面积＋△QOC的面积＝2△POC的面积＝√3/2。
二、当PQ有斜率时，斜率不为0，否则P、O、Q共线，无法构成三角形。
当PQ有非零斜率时，令斜率为k，得：l 的方程为：y＝k（x＋1）＝kx＋k。
∵点P、Q都在直线y＝kx＋k上，∴可令P、Q的坐标分别为（m，km＋k）、（n，kn＋k）。
联立：y＝kx＋k、x^2/4＋y^2＝1，消去y，得：x^2/4＋（kx＋k）^2＝1，
∴x^2＋4k^2x^2＋8k^2x＋4k^2－1＝0，∴（1＋4k^2）x^2＋8k^2x＋4k^2－1＝0。
显然，m、n是方程（1＋4k^2）x^2＋8k^2x＋4k^2－1＝0的根，∴由韦达定理，有：
m＋n＝－8k^2/（1＋4k^2）、mn＝（4k^2－1）/（1＋4k^2）。
由两点间的距离公式，有：
｜PQ｜＝√［（m－n）^2＋（km＋k－kn－k）^2］＝√［（1＋k^2）（m－n）^2］。
由PQ的方程y＝kx＋k，得：kx－y＋k＝0。
由点到直线间的距离公式，有：点O到PQ的距离d＝｜k｜/√（k^2＋1）。
于是：
△POQ的面积
＝（1/2）｜PQ｜d＝（1/2）［｜k｜/√（k^2＋1）］√［（1＋k^2）（m－n）^2］
＝（1/2）｜k｜√（m－n）^2＝（1/2）｜k｜√［（m＋n）^2－4mn］
＝（1/2）｜k｜√｛［－8k^2/（1＋4k^2）］^2－4（4k^2－1）/（1＋4k^2）｝
＝｜k｜√｛［4k^2/（1＋4k^2）］^2－（4k^2－1）/（1＋4k^2）｝
＝｜k｜√［16k^4－（16k^4－1）］/（1＋4k^2）＝｜k｜/（1＋4k^2）
＝1/（4｜k｜＋1/｜k｜）。
∵4｜k｜｜1/｜k｜≧2√［4｜k｜（1/｜k｜）］＝4，∴1/（4｜k｜＋1/｜k｜）≦1/4。
∴当4｜k｜＝1/｜k｜时，△POQ的面积有最大值为1/4。
由4｜k｜＝1/｜k｜，得：｜k｜＝1/4，∴k＝1/2，或k＝－1/2。
∴当△POQ的面积有最大值时，直线 l 的方程是：
y＝（1/2）（x＋1），或y＝－（1/2）（x＋1），
即是：x－2y＋1＝0，或x＋2y＋1＝0
∴｜OM｜＝√5/2，∴｜AB｜＝√5。
由勾股定理，有：｜OA｜^2＋｜OB｜^2＝｜AB｜^2，∴a^2＋b^2＝5。······①
∵e＝c/a＝√3/2，∴2c＝√3a，∴4c^2＝3a^2，∴4（a^2－b^2）＝3a^2，∴a^2＝4b^2。······②
将②代入到①中，得：4b^2＋b^2＝5，∴b^2＝1，∴a^2＝4。
∴满足条件的椭圆方程是：x^2/4＋y^2＝1。
第二个问题：
一、当直线PQ⊥x轴时，PQ的方程显然为：x＝－1。
令x^2/4＋y^2＝1中的x＝－1，得：1/4＋y^2＝1，∴y^2＝3/4，∴y1＝√3/2、y2＝－√3/2。
不失一般性，设P在x轴的上方，则Q在x轴的下方，
∴点P、Q的坐标分别是（－1，√3/2）、（－1，－√3/2）。
设点（－1，0）为C，则：｜OC｜＝1、点P、Q到OC的距离都是√3/2。
∴△POC的面积＝△QOC的面积＝（1/2）｜OC｜×（√3/2）＝√3/4。
∴△POQ的面积＝△POC的面积＋△QOC的面积＝2△POC的面积＝√3/2。
二、当PQ有斜率时，斜率不为0，否则P、O、Q共线，无法构成三角形。
当PQ有非零斜率时，令斜率为k，得：l 的方程为：y＝k（x＋1）＝kx＋k。
∵点P、Q都在直线y＝kx＋k上，∴可令P、Q的坐标分别为（m，km＋k）、（n，kn＋k）。
联立：y＝kx＋k、x^2/4＋y^2＝1，消去y，得：x^2/4＋（kx＋k）^2＝1，
∴x^2＋4k^2x^2＋8k^2x＋4k^2－1＝0，∴（1＋4k^2）x^2＋8k^2x＋4k^2－1＝0。
显然，m、n是方程（1＋4k^2）x^2＋8k^2x＋4k^2－1＝0的根，∴由韦达定理，有：
m＋n＝－8k^2/（1＋4k^2）、mn＝（4k^2－1）/（1＋4k^2）。
由两点间的距离公式，有：
｜PQ｜＝√［（m－n）^2＋（km＋k－kn－k）^2］＝√［（1＋k^2）（m－n）^2］。
由PQ的方程y＝kx＋k，得：kx－y＋k＝0。
由点到直线间的距离公式，有：点O到PQ的距离d＝｜k｜/√（k^2＋1）。
于是：
△POQ的面积
＝（1/2）｜PQ｜d＝（1/2）［｜k｜/√（k^2＋1）］√［（1＋k^2）（m－n）^2］
＝（1/2）｜k｜√（m－n）^2＝（1/2）｜k｜√［（m＋n）^2－4mn］
＝（1/2）｜k｜√｛［－8k^2/（1＋4k^2）］^2－4（4k^2－1）/（1＋4k^2）｝
＝｜k｜√｛［4k^2/（1＋4k^2）］^2－（4k^2－1）/（1＋4k^2）｝
＝｜k｜√［16k^4－（16k^4－1）］/（1＋4k^2）＝｜k｜/（1＋4k^2）
＝1/（4｜k｜＋1/｜k｜）。
∵4｜k｜｜1/｜k｜≧2√［4｜k｜（1/｜k｜）］＝4，∴1/（4｜k｜＋1/｜k｜）≦1/4。
∴当4｜k｜＝1/｜k｜时，△POQ的面积有最大值为1/4。
由4｜k｜＝1/｜k｜，得：｜k｜＝1/4，∴k＝1/2，或k＝－1/2。
∴当△POQ的面积有最大值时，直线 l 的方程是：
y＝（1/2）（x＋1），或y＝－（1/2）（x＋1），
即是：x－2y＋1＝0，或x＋2y＋1＝0
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