Question

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AA1=根号七，点D是BC中点，点E在AC上，且DE垂直A1E（1）证明平面A1DE垂...

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AA1=根号七，点D是BC中点，点E在AC上，且DE垂直A1E（1）证明平面A1DE垂直平面ACC1A1,（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值

Answer 1

（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，所以AA'⊥面ABC，所以AA'⊥DE，
又∵DE⊥A'E，且A'E交AA'于A'，
所以DE⊥面AA'C'C，所以，面A'DE⊥面AA'C'C。
（2）∵DE⊥面AA'C'C，∴DE⊥AC，又点D是BC中点，∴点E是AC的4等分点,AC=4CE=4,AE=3
作AF⊥A1E,交A1E于F，AF=3√7/4
又∵面A'DE⊥面AA'C'C，面A'DE∩面AA'C'C=A1E，
∴AF⊥面A'DE
∴∠ADF为直线AD和平面A1DE所成角
在Rt△AFD中，AF⊥FD,AF=3√7/4，AD=2√3，
sin∠ADF=AF/AD=(3√7/4)/2√3=√21/8
所以，直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为√21/8

Answer 2

（1）因为正三棱柱，所以AA'垂直于面ABC，所以AA'垂直于DE，又因为DE垂直于A'E，且A'E交AA'于A'，所以DE垂直于面AA'C'C，即面A'DE垂直于面AA'C'C。