Question

高中几何数学题

在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面ABC，AB垂直BC，D为AC的中点，AA1=AB=2，BC=3

（1）求证AB1平行平面BC1D

（2）求四棱锥B-AA1C1D的体积

Answer 1

1、连接B1C，交BC1于O，连接DO
因为三棱柱ABC-A1B1C1中侧棱AA1垂直底面ABC，AA1//BB1
即BB1垂直底面ABC
所以BB1垂直于BC，即四边形BB1C1C是矩形
则CO=B1O
又AB垂直BC，D为AC的中点
则CD=DA
所以在三角形AB1C中，DO//AB1
又DO在面BC1D内
则AB1平行平面BC1D
2、过B做BH垂直于AC，交AC于H
AB垂直BC
则AC=根号(2^2+3^2)=根号13，AD=1/2AC=1/2*根号13
因为侧棱AA1垂直底面ABC，则AA1垂直BH
则BH垂直于面AA1C1C
而面AA1C1D在面AA1C1C内
所以BH垂直于面AA1C1D，即BH是四棱锥B-AA1C1D的高
又BH=AB*BC/AC=6/根号13
底面积AA1C1D面积S=(AD+A1C1)*AA1/2=3/2*根号13
则四棱锥B-AA1C1D的体积V=1/3*S*BH=3

Answer 2

1、连接B1C交BC1与o点
连接DO,
因为BCC1B1是平行四边形，所以O是B1C的中点，
又因为D是AC的中点，所以在△ACB1中，DO∥AB1
又因为DO在△BC1D中，
所以AB1∥平面BC1D，即证毕。

2、三棱柱ABC-A1B1C1的体积是V1=1/2AB*BC*AA1=1/2*2*3*2=6
三棱锥B-A1B1C1的体积是V2=1/3*1/2*A1B1*B1C1*BB1=1/3*1/2*2*3*2=2
所以所求四棱锥B-AA1C1D的体积V=V1-V2=6-2=4

Answer 3

连接b1c交于O点，连接do，do为三角形的中位线，和底边平行。命题一得证。
第二题 先算出四 棱 锥的高bd＝6/√13.
再算出四棱锥底面面积并乘高和1/3得到体积
（ √13.+√13/2）*2*1/2*6/√13*1/3＝3
. 望采纳。。。。。。。。。

Answer 4

证明：连接B1C,交BC1于O，连接OD，则OB为1C中点，
又在三角形AB1C中，D为AC的中点，故OD为中位线
OD平行AB1 从而AB1平行平面BC1D
解：过B做BE垂直AD于E，由于侧棱AA1垂直底面ABC，则AA1垂直BE
所以BE垂直平面AA1C1D，AA1C1D的面积=（A1C1+AD)*AA1/2
四棱锥B-AA1C1D的体积=AA1C1D的面积*BE/3=（A1C1+AD)*AA1*BE/6
在三角形ABC中，AB垂直BC，BE垂直AD，AA1=AB=2，BC=3，且A1C1=AC=2AD，得
AC=根号13，BE=6/根号13 四棱锥B-AA1C1D的体积=3

Answer 5

1：连接B1C，交BC1于E点，连接DE，容易得到，B1C=AC，且E为B1C的中点，所以A1A平行DE，得证结论。
2：先求B到AC的距离，可知就是所求四棱锥的高，再求AA1C1D的面积=AA1C1C-三角形CC1D。后面用四棱锥体积公式即可。

Answer 6

取A1C1中点E，连AE,B1E
因为A1ACC1为矩形，则AE∥C1D，
连D1E，则有BE∥BD,
∴平面AEB1∥平面BDC1
∴AB1平行平面BC1D
AB垂直BC,AA1=AB=2，BC=3
则AC=√13
AA1C1D面积为
SAA1ED+SEDC1=2*√13*（1-1/4）=3√13/2
在△ABC中，AC边上的高为
2*3/√13=6√13/13
∴四棱锥B-AA1C1D的体积为
3√13/2*6√13/13*1/3=3