Question

已知A.B.C是ΔABC的三个内角，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B0 当B=3B0/4时，求cosA-cosC的值

要过程

Answer 1

2sinB=sinA＋sinC，即：2b=a＋c
cosB=(a²＋c²－b²)/(2ac)=[a²＋c²－(1/4)(a＋c)²]/(2ac)
=[(3/4)a²－ac＋(3/4)c²]/(2ac)
=(3/8)(a/c)＋(3/8)(c/a)－1≥2×(3/8)－1=1/2
即：cosB≥1/2，则：0<B≤60°
所以B的最大值是B0=60°，当B=(3/4)B0=45°，
2sinB=sinA＋sinA，则：sinA＋sinC=√2，
设：M=cosA－cosC，则：
M²＋(sinA＋sinC)²=2－2cosAcosC＋2sinAsinC=2－2cos(A＋C)=2＋2cosB=2＋√2
则：M²＋2=2＋√2，所以：M²=√2，即cosA－cosC是正负四次根号下2