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已知A、B,C是三角形ABC的三个内角,且满足2sinB=sinA+sinC,设B的最大值为B0
已知A、B,C是三角形ABC的三个内角,且满足2sinB=sinA+sinC,设B的最大值为B0。1,求B0。2,当B=3B0/4时,求cosA-cosC的值。...
已知A、B,C是三角形ABC的三个内角,且满足2sinB=sinA+sinC,设B的最大值为B0。 1,求B0。2,当B=3B0/4时,求cosA-cosC的值。
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2sinB=sinA+sinC正玄定理得2b=a+c
平方 4b^2=a^2+2ac+c^2
余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB
cosB=(3(a^2+c^2)/8ac)-1/4越小B越大
=3(a/8c+c/8a)-1/4 a=c cosB最小解B=60 等边三角形
B=3B0/4=45 A+C=135
且由题设可得sinA+sinC=√2
再设cosA-cosC=x
两式平方后再相加,可得
2-2(cosAcosC-sinAsinC)=2+x
∴x=-2cos(A+C)=√2
即x=√2
∴x=±√(√2)
即原式=±√(√2)
平方 4b^2=a^2+2ac+c^2
余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB
cosB=(3(a^2+c^2)/8ac)-1/4越小B越大
=3(a/8c+c/8a)-1/4 a=c cosB最小解B=60 等边三角形
B=3B0/4=45 A+C=135
且由题设可得sinA+sinC=√2
再设cosA-cosC=x
两式平方后再相加,可得
2-2(cosAcosC-sinAsinC)=2+x
∴x=-2cos(A+C)=√2
即x=√2
∴x=±√(√2)
即原式=±√(√2)
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1、∵2sinB=sinA+sinC=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]
=2sin[(π-B)/2]cos[(A-C)/2]=2cos(B/2)cos[(A-C)/2]
∴4sin(B/2)cos(B/2)=2cos(B/2)cos[(A-C)/2]
∴sin(B/2)=(1/2)cos[(A-C)/2]≤1/2
∴B/2≤π/6
∴B≤π/3
∴B0=π/3
2、B=3B0/4=π/4
则2sinB=sinA+sinC=√2……………………①
设cosA-cosC=x……………………②
①²+②²得
(sinA+sinC)²+(cosA-cosC)=2+x²
sin²A+sin²C+2sinAsinC+cos²A+cos²C-2cosAcosC=2+x²
2-2(cosAcosC-sinAsinC)=2+x²
2-2cos(A+C)=2+x²
所以x²=-2cos(A+C)=2cosB=√2
所以cosA-cosC=x=±(2的4次方根)
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=2sin[(π-B)/2]cos[(A-C)/2]=2cos(B/2)cos[(A-C)/2]
∴4sin(B/2)cos(B/2)=2cos(B/2)cos[(A-C)/2]
∴sin(B/2)=(1/2)cos[(A-C)/2]≤1/2
∴B/2≤π/6
∴B≤π/3
∴B0=π/3
2、B=3B0/4=π/4
则2sinB=sinA+sinC=√2……………………①
设cosA-cosC=x……………………②
①²+②²得
(sinA+sinC)²+(cosA-cosC)=2+x²
sin²A+sin²C+2sinAsinC+cos²A+cos²C-2cosAcosC=2+x²
2-2(cosAcosC-sinAsinC)=2+x²
2-2cos(A+C)=2+x²
所以x²=-2cos(A+C)=2cosB=√2
所以cosA-cosC=x=±(2的4次方根)
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