Question

已知A.B.C是三角形ABC的三个内角，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B0，求B0的大小。急，谢谢

Answer 1

2sinB=sinA＋sinC，即：2b=a＋c
cosB=(a²＋c²－b²)/(2ac)=[a²＋c²－(1/4)(a＋c)²]/(2ac)
=[(3/4)a²－ac＋(3/4)c²]/(2ac)
=(3/8)(a/c)＋(3/8)(c/a)－1≥2×(3/8)－1=1/2
即：cosB≥1/2，则：0<B≤60°
所以B的最大值是B0=60°，当B=(3/4)B0=45°，
2sinB=sinA＋sinA，则：sinA＋sinC=√2，
设：M=cosA－cosC，则：
M²＋(sinA＋sinC)²=2－2cosAcosC＋2sinAsinC=2－2cos(A＋C)=2＋2cosB=2＋√2
则：M²＋2=2＋√2，所以：M²=√2，即cosA－cosC是正负四次根号下2

Answer 2

1、∵2sinB=sinA+sinC=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]=2sin[(π-B)/2]cos[(A-C)/2]=2cos(B/2)cos[(A-C)/2]∴4sin(B/2)cos(B/2)=2cos(B/2)cos[(A-C)/2]∴sin(B/2)=(1/2)cos[(A-C)/2]≤1/2∴B/2≤π/6∴B≤π/3∴B0=π/3