Question

急~~~~~ 积分区域是:(x-1)^2+(y-1)^2≤2,y≥x 请问用极坐标怎么表示这个区域啊? 求二重积分用极坐标法

积分区域是:(x-1)^2+(y-1)^2≤2,y≥x 请问用极坐标怎么表示这个区域啊? 求二重积分用极坐标法. 特别是θ的取值范围!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

先求圆：(x-1)^2+(y-1)^2=2的极坐标方程
圆方程化为：x²-2x+1+y²-2y+1=2，即x²-2x+y²-2y=0
化为极坐标：r²-2rcosθ-2rsinθ=0，即r=2cosθ+2sinθ
由于此圆过原点，因此r的范围比较容易，就是0≤r≤2cosθ+2sinθ
要求θ的范围，需要过原点作圆的切线，由于切线与半径垂直，设圆心为A，该切线与OA垂直，所以切线其实就是y=-x，这样就可以确定，π/4≤θ≤3π/4

追问

是不是只要方程满足(0,0)点时候,r就可以取到0. 另外,我是这样想的 y≥x 所以 sinθ≥cosθ ∴tanθ≥1 所以 θ≥π/4 又∵r可以取到0 (0≤r≤2cosθ+2sinθ) 所以 cosθ=-sinθ 所以 θ=3π/4 这样理解不知道可以不啊? 请教下. 还是说这种题目都必须画出图形. 关键有些图形 不太好画,或者说是不太好理解!

追答

1、只要原点在区域里（包括边界），r的起点一定是0，本题由于(0,0)满足曲线方程，所以原点在边界上；
2、你那样求θ的范围也是对的，但这个方法可能不太通用，别的题未必能这样做；
3、个人意见，二重积分最好还是画图，这样不容易出错，而且直观容易看出来，一般很少遇到太难画的曲线，如果确实遇到难画的曲线，通常只需要把该曲线与其它曲线及坐标轴的交点找到，了解该曲线的大致位置也就够用了。

追问

把积分∫∫f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域是:D={x^2≤y≤1,-1≤x≤1} 我一开始的思路也是解不等式,我总觉得,解不等式出来的东西要比直观的看出来的东西准确的, 我感觉我比较固执啊，我是这样想的因为x^2≤y≤1所以r^2cos^2θ≤rsinθ≤1∴r≤tanθsecθ≤1① 又∵-1≤x≤1 ∴-1≤rcosθ≤1 ② 我就想问的是联立①②两式能不能解出答案。如果能的话，是怎么解出的啊？我大概能解出但是过程感觉不太对。

追答

建议还是画图做吧，画图做这个题不难的，解不等式我就解不了了，中学的东西大部分都忘 了，如果你中学的功底强可以试试。这个题应该分三个区域的。
0--->π/4
π/4-->3π/4
3π/4-->π