Question

已知m的平方等于m+1，n的平方等于n＋1，求m的5次方加n的5次方的值

要详细些，过程必不可少

Answer 1

不停的利用m+1来替换m^2：
m^5=m*(m^2)^2=m(m+1)^2=m(m^2+2m+1)=m(m+1+2m+1)=m(3m+2)=3m^2+2m=3(m+1)+2m=5m+3;
同理，n^5=5n+3
又m^2=m+1,n^2=n+1；把两式相减的m^2-n^2=m-n，即(m+n)(m-n)=m-n
因为m不等于n，两边除以m-n得m+n=1
所以m^5+n^5=5m+3+5n+3=5(m+n)+6=5+6=11

或者：

m,n是方程x^2-x-1=0的两根,所以m+n=1,mn=-1.
m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=3,
m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)=4,
m^5+n^5=(m^2+n^2)(m^3+n^3)-m^2n^2(m+n)=11.