Question

设f(x)是负无穷到正无穷上的周期函数，且f(1/x)的极限为零，求fx

Answer 1

题中的f(1/x)的极限为零应该是指x→0时吧
转换一下，得 x→无穷时，f(x)→0
如果是填空或选择，我觉得答案已经可以猜出来了，f(x)恒=0
你想一下，x在趋近于无穷的过程中，与x轴的距离无限接近，但它又是一个周期函数，也就是在每一个周期内都要无限接近0，而且这些周期还会在趋近于0的点后再重复...这显然是矛盾的，所以答案可求（有点绕...）
但非要证，我觉得可以用反证法 即设f(x)不是恒=0的，换言之，存在x0∈R，使得f(x0)≠0
要证明极限为0，用定义法，即任意E>0,存在X>0,使得，绝对值x>X时，绝对值f(x)<E
由于f(x)为周期函数，则存在正整数n，使得x0+nT>X，此时绝对值f(x0+nT)=绝对值f(x0)=常数，不可能<E 推得f(x)在x→无穷时不→0，这与题目中的条件矛盾，所以f(x)恒=0
证毕。