Question

在平行四边形OABC中，过点C的直线与线段OA,OB分别相交于M,N,向量OM=sinaOA,ON=cosaOB

在平行四边形OABC中，过点C的直线与线段OA,OB分别相交于M,N,向量OM=sina向量OA,向量ON=cosa向量OB，其中a属于[0,π/2],求sin2a=

Answer 1

∵OABC是平行四边形，∴向量OC＝向量AB＝向量OB－向量OA。
∵向量OM＝sinα向量OA、向量ON＝cosα向量OB，
∴向量MN＝向量ON－向量OM＝cosα向量OB－sinα向量OA。
　向量NC＝向量OC－向量ON＝向量OB－向量OA－cosα向量OB。

∵向量MN、向量NC共线，∴向量MN＝k向量NC，其中k为非零实数。
∴cosα向量OB－sinα向量OA＝k（向量OB－向量OA－cosα向量OB），
∴（cosα－k＋kcosα）向量OB＝（sinα－k）向量OA。

∵向量OA、向量OB不共线，∴cosα－k＋kcosα＝0、sinα－k＝0，
∴cosα－sinα＋sinαcosα＝0，∴sinαcosα＝sinα－cosα，
∴（sinαcosα）^2＝（sinα）^2－2sinαcosα＋（cosα）^2＝1－sin2α，
∴（1/4）（sin2α）^2＝1－sin2α，∴（sin2α）^2＋4sin2α＝4，
∴（sin2α＋2）^2＝8。

∵α∈［0，π/2］，∴2α∈［0，π］，∴sin2α≧0。
∴sin2α＋2＝2√2，∴sin2α＝2√2－2。