Question

已知函数f(x)=ax^3+bx^2-3x在x=正负1处取得极值 （1）.求函数f(x)的解析式 （2）.求证：对于区间【-1,1】上

任意两个自变量X1、X2，都有|f(X1)-f(X2)|<=4
(3).若过点A（1，m）（m不等于-2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围
急求！

Answer 1

f'(x)=3ax^2+2bx-3
在x=正负1
f'(1)=3a+2b-3=0
f'(-1)=3a+2b-3=0 a=1 b=0
f(x)=x^3-3x
f'(x)=3(x+1)(x-1)
x x<-1 -1 -1<x<1 1 x>1
y' + 0 - 0 +
y 增 极大值 减 极小值 增
f(x)在区间[-1,1]上是减函数
fmax=f(-1)=2
fmin=f(1)=-2
任意两个自变量X1、X2，都有|f(X1)-f(X2)|<=fmax-fmin=4
所以对于区间【-1,1】任意两个自变量X1、X2，都有|f(X1)-f(X2)|<=4
（3）设切点为(x,y)
f'(x)=3x^2-3 k=3x^2-3
k=(y-m)/(x-1)
y=x^3-3x
整理得 2x^3-3x^2+m+3=0
曲线y=f(x)的三条切线，则方程有3个根
令g(x)=2x^3-3x^2+m+3
则函数的极大值大于0，且极小小于0
g'(x)=6x^2-6x
x x<-1 -1 -1<x<1 1 x>1
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) 增 极大值 减 极小值 增
g极大值=4+m>0 m>-4
g极小值=m+2<0 m<-2
实数m的取值范围 -4<m<-2