Question

f(x)=x+1/x在定义域上的单调性（两种方法

Answer 1

解①:
f(x)的定义域为(-无穷,0)∪(0,+无穷).
对f(x)求导,f'(x)=1-1/x^2, 且函数在x=0处不连续.
令f'(x)=0,即x^2=1,得x=1或x=-1,
这将函数划分为四个区间，(-无穷,-1),[-1,0),(0,1),[1,+无穷).
当x<-1时,1-1/x^2=(x^2-1)/x^2>0,故函数单调递增，同理可得其它三个区间的情况。

解②:
f(x)的定义域为(-无穷,0)∪(0,+无穷),
若x>0,根据平均不等式：f(x)=x+1/x>=2根号(1)=2,
若x<0,根据平均不等式：f(x)=x+1/x=-[-x+1/(-x)]<=-2根号(1)=-2,
故2与-2是f(x)的两个极值点.
分别令f(x)=2及-2,得x=1及x=-1.这不是其定义域的端点,故这两点将是f(x)的"转折点",因而分段考虑.

设x1<x2，x1,x2∈(-无穷,0)∪(0,+无穷),
则f(x2)-f(x1)=(x2-x1)+(x1-x2)/(x1x2)=(x2-x1)(x1x2-1)/x1x2.
若x1,x2在(-无穷,-1)中
有：x1x2>1,
故f(x2)-f(x1)>0函数递增,同理可得其它区间的情况.

解③:
暂时还没想到..

Answer 2

(-∞,-1] 递增
(-1,0) 递减
(0,1) 递减
[1,+∞) 递增