Question

0<a<1求∑（(a^k)/k!）. 求和符号为从k=0到无穷

Answer 1

设(sint+sint^2)的原函数是f(t)
那么f‘(t)=sint+sint^2
所以∫(-x到x)(sint+sint^2)dt=f(x)-f(-x)
对它求导为f’(x)-f‘(-x)*(-1)=f’(x)+f‘(-x)
=sinx+sinx^2+sin(-x)+sinx^2=2sinx^2
原式两个函数为等价无穷小，所以在x趋向于0的极限比值为1
使用洛必达法则计算极限
lim(x趋向0)[∫(-x到x)(sint+sint^2)dt/(ax^k)](分子求导上面已给出)
=lim(x趋向0)[(2sinx^2)/(akx^(k-1))](继续使用洛必达法则)
=lim(x趋向0)[(4xcosx^2)/(ak(k-1)x^(k-2))](x除到下面)
=lim(x趋向0)[(4cosx^2)/(ak(k-1)x^(k-3))]=1
要为1，x的次方系数必须为0，所以k=3
另外cos0=1，所以4/(ak(k-1)=1
解得到a=2/3
所以a=2/3
k=3

Answer 2

根据泰勒展开

e^x=∑(x^k)/k!

因此，∑（(a^k)/k!）=e^a

追问

呃，对了！马上采纳，不过忘了这个泰勒展开式了，这个是在哪个点处展开的或者怎么证明的？

追答

这个是在0点展开

证明方法就是求f(x)的n阶导数，在0点取值