Question

如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点

若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为四分之根号6，求二面角E-AF-C的余弦值

Answer 1

过B做BM⊥AD，交DA的延长线于点M
底面ABCD为菱形,,∠ABC=60°,所以三角形ABC为等边三角形
AE⊥BC BM//=AE
AE⊥AP
所以 AE⊥平面PAD
BM⊥平面PAD
∠BPM为直线PB与平面PAD所成角
sin∠BPM=BM/BP=√6/4
设BM=AE=√3，BP=2√2
AB=2 AP=2

以A为坐标原点，AE，AD，AP，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系
A(0,0,0) P(0,0,2) E(√3,0,0) C(√3,1,0)
F(√3/2,1/2,1)
向量AE=(√3,0,0) 向量AF=(√3/2,1/2,1)
设平面AEF的法向量为n1=(x1,y1,z1)
则 x1=0 y1/2+z1=0 令 y1=2则z1=-1
所以n1=(0,2,-1)

向量AF=(√3/2,1/2,1) 向量AC=(√3,1,0)
设平面ACF的法向量为n2=(x2,y2,z2)
则 x2*√3/2+y2/2+z2=0
x2*√3+y2=0
z2=0 令y2=-√3 x2=1
所以n2=(1,-√3,0)
n1,n2的夹角为θ
cosθ=n1*n2/|n1|*|n2|
=-2√3/(2√5)
=-√15/5
二面角E-AF-C的余弦值√15/5

追问

额，麻烦用传统方法解一下啊，