高三函数题
已知函数f(x)=x|x-a|+2x-3,当x[1,2]时,f(x)<2x-2恒成立,求实数a的取值范围...
已知函数f(x)=x|x-a|+2x-3,当x[1,2]时,f(x)<2x-2恒成立,求实数a的取值范围
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x|x-a|+2x-3<2x-2恒成立,等价于
x|x-a|<1
-1/x<a-x<1/x
x-1/x<a<x+1/x恒成立
因为x-1/x在x∈[1,2]上增,最大值是 x-1/x=2-1/2=3/2
x+1/x在x∈[1,2]上增,最小值是2 x+1/x=1+1/1=2
所以3/2<a<2
x|x-a|<1
-1/x<a-x<1/x
x-1/x<a<x+1/x恒成立
因为x-1/x在x∈[1,2]上增,最大值是 x-1/x=2-1/2=3/2
x+1/x在x∈[1,2]上增,最小值是2 x+1/x=1+1/1=2
所以3/2<a<2
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x|x-a|+2x-3<2x-2,则|x-a|<1/x,-1/x<x-a<1/x,即x-1/x<a<x+1/x。
设g(x)=x-1/x、h(x)=x+1/x,当1<=x<=2时,可求得g(x)的最大值是3/2,h(x)的最小值是2。
所以实数a的取值范围是[3/2,2]。
设g(x)=x-1/x、h(x)=x+1/x,当1<=x<=2时,可求得g(x)的最大值是3/2,h(x)的最小值是2。
所以实数a的取值范围是[3/2,2]。
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