Question

Rt△ABC与Rt△CDE，∠ABC=∠CDE=90°，BC=k•AB，CD=k•DE，M为AE中点，

探究：线段BM与DM的数量关系；
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Answer 1

BM＝DM。　证明如下：
延长AB至F，使FB＝AB，再延长ED至G，使GD＝ED。
∵BC＝kAB、CD＝kDE，∴BC/CD＝AB/DE，又∠ABC＝∠CDE＝90°，∴△ABC∽△EDC，
∴∠ACB＝∠ECD，∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCD＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE。······①

∵AF⊥BC、AB＝FB，∴∠ACB＝∠FCB，∴∠ACD＋∠BCD＝∠FCE＋∠BCE。······②
由①、②，得：
∴∠BCE＋∠BCD＝∠FCE＋∠ACD，∴∠ECD＝∠FCE＋∠ACD。······③

∵CD⊥GE、GD＝ED，∴∠GCD＝∠ECD，∴∠ACG＋∠ACD＝∠ECD。······④
由③、④，得：∠FCE＝∠ACG。

∵BC、CD分别是AF、GE的垂直平分线，∴FC＝AC、EC＝GC，而∠FCE＝∠ACG，
∴△FCE≌△ACG，∴FE＝AG。······⑤

∵B、M分别是AF、AE的中点，∴BM是△AFE的中位线，∴BM＝FE/2。······⑥
∵M、D分别是AE、GE的中点，∴DM是△EAG的中位线，∴DM＝AG/2。······⑦
由⑤、⑥、⑦，得：BM＝DM。