Question

设函数f（x)=x-ln(x+m),其中常数m为正数。 （1）若f（x)大于等于0,恒成立，求m的范围

（2）当m大于1时，判断方程f（x）=0在【e的-m方减去m，e的2m方减去m】内实根的个数

Answer 1

设函数f（x)=x-ln(x+m),其中常数m为正数。 （1）若f（x)大于等于0,恒成立，求m的范围，（2）当m大于1时，判断方程f（x）=0在【e的-m方减去m，e的2m方减去m】内实根的个数
(1)解析：∵函数f(x)=x-ln(x+m) (m>0,x>-m)
令f’(x)=1-1/(x+m)=0==>x=1-m
f’’(x)=1/(x+m)^2>0
∴函数f(x)在x=1-m处取极小值f(1-m)=1-m
1-m>=0==>0<m<=1
∴m的范围为0<m<=1
(2)解析：令m>1
由(1)可知，方程f(x)=0必有二个实根x1,x2 (x1<x2)
∴x1∈(-m,1-m), x2∈(1-m,m)
∵给定区间[e^(-m)-m,e^(2m)-m]
f(e^(-m)-m)=e^(-m)-m-ln(e^(-m))=e^(-m)>0
∴-m<e^(-m)-m<x1
f(e^(2m)-m)=e^(2m)-m-ln(e^(2m))=e^(2m)-3m>0
∴e^(2m)-m>x2
综上x1,x2∈[e^(-m)-m,e^(2m)-m]
∴当m>1时，方程f(x)=0在[e^(-m)-m,e^(2m)-m]内有二个实根

Answer 2

（1）x>=ln(x+m)
两边同时取指数
e^x>=x+m
则m<=e^x-x
令h(x)=e^x-x
m小于等于h(x)的最小值即可
对h(x)求导
h'(x)=e^x-1
故h(x)在x<1降在x>=1增
故h(x)的最小值为1
故m<=1即可
而m有为正数
则0<m<=1