Question

证明:函数f(x)=x/（1+x^2）在区间[1,+无穷)上是减函数

Answer 1

我给你一个最正统的解法吧！
设x1>x2≥1,
则 f(x1)=x1/(1+x1²),f(x2)=x2/(1+x2²),
f(x1)-f(x2)=[(x1-x2)+x1x2(x2-x1)]/[(1+x1²)(1+x2²)]
=[(x1-x2)(1-x1x2)]/[(1+x1²)(1+x2²)]
因为x1>x2≥1,1+x1²>0,1+x2²>0
故x1-x2>0，x1x2>1
即f(x1)-f(x2)<0
由函数单调性的定义可知函数f(x)=x/（1+x²）在区间[1,+∞)上是减函数.

Answer 2

f(x)=x/(1+x^2)=1/(x+1/x)。
因为在区间1,+无穷)上对勾函数x+1/x>0且单调递增。
所以，f(x)=1/(x+1/x)区间[1,+无穷)上是减函数。