多变量函数全微分问题
根据书上的公式:（三元的话）Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)=AΔx+BΔy+ο(ρ)(ρ=根号下(Δx^2+Δy^2))根据上面公式计算f(x,y)=x^2...
根据书上的公式:（三元的话）
Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)
=AΔx+BΔy+ο(ρ) (ρ=根号下(Δx^2+Δy^2))
根据上面公式
计算f(x,y)=x^2-xy
结果等于 Δx(2x+y)+Δy(x)+Δx^2+ΔxΔy
为什么按照公式的话 ο(ρ)ρ=根号下(Δx^2+Δy^2)
但是结果中我的结果中ο(ρ)=Δx^2+ΔxΔy
问题1 )
两者相等吗？为什么？
问题2 )
到底 AΔx+BΔy+ο(ρ) 是怎么化出来的?
问题3 )
为什么是ρ=根号下(Δx^2+Δy^2)？
同济的书上没有该过程，直接写结果了，别的书也找不到，让我对全微分到底是什么一点都不了解，希望有人能帮我回答一下，先提前谢谢大家了 展开
Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)
=AΔx+BΔy+ο(ρ) (ρ=根号下(Δx^2+Δy^2))
根据上面公式
计算f(x,y)=x^2-xy
结果等于 Δx(2x+y)+Δy(x)+Δx^2+ΔxΔy
为什么按照公式的话 ο(ρ)ρ=根号下(Δx^2+Δy^2)
但是结果中我的结果中ο(ρ)=Δx^2+ΔxΔy
问题1 )
两者相等吗？为什么？
问题2 )
到底 AΔx+BΔy+ο(ρ) 是怎么化出来的?
问题3 )
为什么是ρ=根号下(Δx^2+Δy^2)？
同济的书上没有该过程，直接写结果了，别的书也找不到，让我对全微分到底是什么一点都不了解，希望有人能帮我回答一下，先提前谢谢大家了 展开
2个回答
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你有个理解上的错误
ο(ρ) 是指比ρ 高阶的无穷小，而不是一个恒定的表达式。因为微分的表达式只有在极限状态下才有意义。
而任何比 ρ 高阶 的无穷小，在最后算极限后都会变成0.所以 无所谓相等与否
无穷小之间没有相等这个概念，只有相对的高阶、低阶或者等阶。在欧氏有限维多元自变量，一维实数值的 这种极其简单的情况下，函数的微分具有一定程度的不变性。可以放心地把你这个式子里的比 ρ=根号下(Δx^2+Δy^2) 高阶的无穷小都写成 ο(ρ)
就你这个问题 ，你其实应该问的是 Δx^2+ΔxΔy是否是ο(ρ)，而不是ο(ρ)是否等于Δx^2+ΔxΔy。
这个很简单，用高阶无穷小的定义你看看 （Δx^2+ΔxΔy）/ ρ 在ρ趋向0的时候极限是不是0.这显然是0嘛。
AΔx+BΔy+ο(ρ) 是怎么化出来的? 这个问题问的非常好。因为这直接涉及微分的最本质思想
事实上。是反过来的。是微分想要用 比较简单的线性函数在一点的局部去逼近一类函数，所以表达式当然就是 dy = T(dx)+ o(dx) 这里T是一个线性函数。在dx为n维列向量，dy为m维列向量的时候，线性代数的知识可以知道T必然能用一个mxn矩阵表示，你这里，dy是1维,dx是2维，所以
T其实应该是一个 1X2的矩阵，我们设为(A,B)， 自变量的增量列向量是 (Δx ,Δy)的转直。这个线性变换其实就是 AΔx+BΔy
所以 微分就是希望找到这样一个A，B可以在给定的这个点的局部上用 线性函数 AΔx+BΔy 逼近 原来那个函数 的增量 Δz。逼近的效果要求二者相差必须是 ρ的高阶无穷小。
但是并不是所有的函数都能被这么逼近，所以我们才这么定义，并且把可以这么逼近的函数称为可微的函数。然后为了计算A和B，才有导数的概念。
第三个问题也问的很好，为什么用 ρ=根号下(Δx^2+Δy^2) 【如果所有学生都像你这么问，能学到很多东西的】
其实你用其他的可以保证忽略y能跟Δx同阶，忽略x能跟Δy同阶（其实这还只是两个方向，事实上还要求所有的方向导数也能保持同阶才行），并且在向量(Δx,Δy)在平常的欧氏空间的意义下逼近0必须跟这个东西逼近0等价，也是可以的。效果是一样的。
其实 ρ=根号下(Δx^2+Δy^2) 取的是 2维向量(Δx,Δy)的一个范数（你可以理解为模长）。而且这还是欧氏的范数。
其实你是可以取任何一个跟这个最标准的范数等价（范数等价你可以去了解相关资料或者留作一个将来想要了解的概念记录在你的本子上）的范数。
比如1-范数 |Δx|+|Δy|也是跟2-范数 根号下(Δx^2+Δy^2) 等价的。
你用 ρ= |Δx|+|Δy| 其实你会发现跟 根号下(Δx^2+Δy^2) 在微分的情况下效果是完全一样的。
ο(ρ) 是指比ρ 高阶的无穷小，而不是一个恒定的表达式。因为微分的表达式只有在极限状态下才有意义。
而任何比 ρ 高阶 的无穷小，在最后算极限后都会变成0.所以 无所谓相等与否
无穷小之间没有相等这个概念，只有相对的高阶、低阶或者等阶。在欧氏有限维多元自变量，一维实数值的 这种极其简单的情况下，函数的微分具有一定程度的不变性。可以放心地把你这个式子里的比 ρ=根号下(Δx^2+Δy^2) 高阶的无穷小都写成 ο(ρ)
就你这个问题 ，你其实应该问的是 Δx^2+ΔxΔy是否是ο(ρ)，而不是ο(ρ)是否等于Δx^2+ΔxΔy。
这个很简单，用高阶无穷小的定义你看看 （Δx^2+ΔxΔy）/ ρ 在ρ趋向0的时候极限是不是0.这显然是0嘛。
AΔx+BΔy+ο(ρ) 是怎么化出来的? 这个问题问的非常好。因为这直接涉及微分的最本质思想
事实上。是反过来的。是微分想要用 比较简单的线性函数在一点的局部去逼近一类函数，所以表达式当然就是 dy = T(dx)+ o(dx) 这里T是一个线性函数。在dx为n维列向量，dy为m维列向量的时候，线性代数的知识可以知道T必然能用一个mxn矩阵表示，你这里，dy是1维,dx是2维，所以
T其实应该是一个 1X2的矩阵，我们设为(A,B)， 自变量的增量列向量是 (Δx ,Δy)的转直。这个线性变换其实就是 AΔx+BΔy
所以 微分就是希望找到这样一个A，B可以在给定的这个点的局部上用 线性函数 AΔx+BΔy 逼近 原来那个函数 的增量 Δz。逼近的效果要求二者相差必须是 ρ的高阶无穷小。
但是并不是所有的函数都能被这么逼近，所以我们才这么定义，并且把可以这么逼近的函数称为可微的函数。然后为了计算A和B，才有导数的概念。
第三个问题也问的很好，为什么用 ρ=根号下(Δx^2+Δy^2) 【如果所有学生都像你这么问，能学到很多东西的】
其实你用其他的可以保证忽略y能跟Δx同阶，忽略x能跟Δy同阶（其实这还只是两个方向，事实上还要求所有的方向导数也能保持同阶才行），并且在向量(Δx,Δy)在平常的欧氏空间的意义下逼近0必须跟这个东西逼近0等价，也是可以的。效果是一样的。
其实 ρ=根号下(Δx^2+Δy^2) 取的是 2维向量(Δx,Δy)的一个范数（你可以理解为模长）。而且这还是欧氏的范数。
其实你是可以取任何一个跟这个最标准的范数等价（范数等价你可以去了解相关资料或者留作一个将来想要了解的概念记录在你的本子上）的范数。
比如1-范数 |Δx|+|Δy|也是跟2-范数 根号下(Δx^2+Δy^2) 等价的。
你用 ρ= |Δx|+|Δy| 其实你会发现跟 根号下(Δx^2+Δy^2) 在微分的情况下效果是完全一样的。
更多追问追答
追问
大哥，我就一专科的学生，线性代数就会化个行列式，我问这个问题主要是想知道多元函数的可微，连续，一阶偏导数存在，一阶偏导数连续这四个谁是谁的充分条件，谁是谁的必要条件，老师就让死记硬背了。怎么解决这个问题啊，(在我的水平下)，我主要是想知道这些概念的几何意义，或者物理模型的话能加深记忆
你说的我会记下的，我是计算机系的，专科你懂的，线性代数不开课，离散数学不开课，高数就学个单变量的微分积分，能干毛啊
追答
哦。。 你知道蜈蚣学步的寓言吗？
有人问蜈蚣，你那么多脚，怎么操作的来阿。
蜈蚣就想对阿，我是怎么操作的？结果这只蜈蚣不知道怎么走路了。
按你的要求的话，我建议你背公式就好了，不要问那么多了。。。。别变成那只蜈蚣。
搞理论交给对理论感兴趣的人去作就好了，做应用的话，只要大致明白就好了，细节不重要的。
如果你真的是有求知欲，想要知道更多的东西，（就算数学系本科，老师也不一定在课内给你讲那么细的），大学需要的是自学能力。你如果真的对这个很感兴趣，想搞清楚，你可以追着老师（老师一般会比较生气，记住，不要脸地问问题才能获得更多的收获，我就这么过来的），或者自己买些书自学，有困难可以找前辈解惑。记住，求知没有错，脸面完全不如智慧
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