tan的泰勒展开式是tanx = x+ (1/3)x^3 +....不同,sinx是:sinx = x-(1/6)x^3+.....
常用泰勒展开式e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。
若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数,则对闭区间[a,b]上任意一点x。
扩展资料
1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。
解:根据导数表得:f(x)=sinx,f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,f⑷(x)=sinx……
于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0,f'(0)=1,f''(x)=0,f'''(0)=-1,f⑷=0……
最后可得:sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……(这里就写成无穷级数的形式了。)
类似地,可以展开y=cosx。
2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。
解:对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项:
e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!
当x=1时,e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!
取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。
3、欧拉公式:e^ix=cosx+isinx(i为-1的开方,即一个虚数单位)
证明:这个公式把复数写为了幂指数形式,其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了,就把思路讲一下:先展开指数函数e^z,然后把各项中的z写成ix。
由于i的幂周期性,可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起,剩余的项写在一起,刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i,即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。
参考资料:百度百科-泰勒公式
其中B(2n-1)是贝努利数。
没有通式算,不会要求到n阶的。
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