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f(x)=x^2,(x≥0),f(x)=-x^2,(x<0).
f(x)处处可导,f′(x)=2|x|,在x=0不可导。
至于更复杂的情况,如f(x)处处可导,f′(x)处处连续,但处处不可导,这种例子是有的,当然这种例子相当复杂,不是一个短帖能写清楚的。你可以先去找到处处连续,但处处不可导的函数,把这种函数积分一次,就可得到这种例子。
不好意思,昨天把题目看错了,今天改正。
f(x)=x^2*sin(1/x),(x≠0时),f(0)=0.
f′(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x),(x≠0时),f′(0)=0.
f′(x)在x=0不连续。
f(x)处处可导,f′(x)=2|x|,在x=0不可导。
至于更复杂的情况,如f(x)处处可导,f′(x)处处连续,但处处不可导,这种例子是有的,当然这种例子相当复杂,不是一个短帖能写清楚的。你可以先去找到处处连续,但处处不可导的函数,把这种函数积分一次,就可得到这种例子。
不好意思,昨天把题目看错了,今天改正。
f(x)=x^2*sin(1/x),(x≠0时),f(0)=0.
f′(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x),(x≠0时),f′(0)=0.
f′(x)在x=0不连续。
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你的命题是错误的吧!
f(x)=x^2*sin(1/x),(x≠0时),f(0)=0。这个函数在x=0处不可导。常见错误就是先假设在x=0处可导,然后求出,左右导数相等(但“无法得出具体值?”)。按照求导公式得出的结果,导数在此处震荡,但不能说不连续!!!只能说这种方法有局限性……
那么我们用最根本的方法——定义法!!!
可导 等价于 左右导数存在且相等,值为零。
下面是关键!
连续的定义,就是左右极限相等,且与函数值相等!!!(该函数的左右导数就是导函数在x=x0处的左右极限)。
这下清楚了吧,两者原本就是等价的。
小结一下:数学里面遇到瓶颈时,不妨回过头来看看最原始的信息——定义。
PS:五年前的问题了,估计无人问津了。还是写出来让大家参考参考!!!
f(x)=x^2*sin(1/x),(x≠0时),f(0)=0。这个函数在x=0处不可导。常见错误就是先假设在x=0处可导,然后求出,左右导数相等(但“无法得出具体值?”)。按照求导公式得出的结果,导数在此处震荡,但不能说不连续!!!只能说这种方法有局限性……
那么我们用最根本的方法——定义法!!!
可导 等价于 左右导数存在且相等,值为零。
下面是关键!
连续的定义,就是左右极限相等,且与函数值相等!!!(该函数的左右导数就是导函数在x=x0处的左右极限)。
这下清楚了吧,两者原本就是等价的。
小结一下:数学里面遇到瓶颈时,不妨回过头来看看最原始的信息——定义。
PS:五年前的问题了,估计无人问津了。还是写出来让大家参考参考!!!
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