Question

已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=(mx+n）/（x^2+1)为奇函数，且f(1/2)=2/5

若对任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2^t-1恒成立,求t的最小值

Answer 1

既然是奇函数，则f(0)=0，即：
n/1=0，得：n=0
又：f(x)=(mx)/(x²＋1)，则：f(1/2)=2/5，得：m=1
所以，f(x)=x/(x²＋1)=1/[(x)＋(1/x)]，则f(x)在(－1，1)上的值域是[－2，2]
对任意x1、x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|的最大值是4，则：
2^(t－1)≥4
2^(t－1)≥2²
t－1≥2
t≥3
t的最小值是3

追问

任意x1、x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|的最大值是4
为什么？为什么不是2

追答

1、2^(t－1)≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，那只要2^(t－1)≥【|f(x1)－f(x2)|在区间[－1，1]上的最大值即可】
2、又：任意x1、x2∈[－1，1]，则f(x1)－f(x2)的最大值就是f(x)在区间内的“落差”，那就是最大值减去最小值，是4

追问

最大值是x=1，最小值是x=-1，然后代入解析式吗？？

追答

是的