Question

如图，四边形ABCD是直角梯形，AB//DC，AB=6，CD=3，AD=4。动点M、N分别从A、B两点同时出发，（下接）

点M以每秒1个单位长的速度延AB向点B运动；点N以每秒1个单位长的速度延B-C-D运动；当其中一个点到达中点时，另一个也随即停止，设两个点的运动时间为t。
1.当t为何值时，MN//AD
2.设△DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值，是多少？
3.写出MN⊥BD时t的值。

Answer 1

解：（1）作CE⊥AB，
∵AB∥DC，AB=6，CD=3，AD=4．
∴BE=3，
∴CD=CE2+BE2=5，
故答案为：5；

（2）过点C作CE⊥AB于点E，
∵MN∥AD，
∴△BMN∽△BEC，
∴BNBC=
BMBE，
即t5=
6-t3，
∴t=154；

（3）①如图4，当点N在BC上时，过点N作NH⊥AB于点H，交DC的延长线于点F，
∴NH=45t，
∴NF=4-45t，
S=S梯形ABCD-S△ADM-S△MNB-S△CDN，
=25t2-165t+12（0≤t＜5），
∴S=25（t-4）2+285（0≤t＜5），
∴当t=4时，S最小=285，
②当点N在CD上时，
S=-2t+16（5≤t≤6），
∴当t=6时，S最小=4，
综上所述，当t=6时，S最小=4，

（4）设MN与DB相交于P点，
∵MN⊥BD，易证△MHN∽△DAB，得出MHAD=
HNAB，
解得：t=4516．

Answer 2

（1）当MN∥AD时
作CF⊥AB，交AB于F，BF=AB-AF=AB-CD=3。
CF＝AD＝4
BC＝5
∵△BMN∽△BFC
∴BM/BF=BN/BC
　（AB－t）/3=t/5
8t＝30
t＝3.75（秒）
答：当MN∥AD时，t＝3.75（秒）。

（2）列出S△DMN＝f（x）
当（0≤t≤5）时
N到AB的距离为h
h/CF=BN/BC
h=4t/5
S梯形＝（AB＋CD）×AD／2＝18
S△ADM＝AD×AM／2＝2t
S△BMN＝BM×h/2=（AB-t）×2t/5
=(12t-2t^2)/5
S△NCD＝CD×（AD－h）/2=6－6t/5
S△DMN＝S梯形－S△ADM－S△BMN－S△NCD
　　　　　　＝18－2t－(12t-2t^2)/5－（6－6t/5）
　　　　　　＝18－2t－12t/5＋2t^2/5－6＋6t/5
　　　　　　＝12－16t/5＋2t^2/5
S△DMN＝（2/5）t^2－（16/5）t＋12
求导，（4/5）t－16/5＝0
　　　　t＝3/2　有最小值　代入S△DMN＝（2/5）t^2－（16/5）t＋12
最小S△DMN＝5.7
　　
当（5＜t≤6）时
S梯形ABCD＝（AB＋CD）×AD／2＝18
S△ADM＝AD×AM／2＝2t
S梯形BCNM＝（BM＋CN）×AD／2
　　　　　　　　　＝[（6－t）＋（t－5）]×4／2
　　　　　　　　　＝2
S△DMN＝S梯形ABCD－S△ADM－S梯形BCNM
　　　　　　＝18－2t－2
　　　　　　＝16－2t
最小S△DMN＝4
答：S△DMN＝（2/5）t^2－（16/5）t＋12　　（0≤t≤5）
　　S△DMN＝16－2t　　　　　　　　　　　　　　　（5＜t≤6）
　　当t＝6秒时，△DMN面积为最小，值是4。
　　　
（3）当MN⊥BD时，MN与BD交于E。
BD＝√（AB^2＋AD^2）＝2√13
Sin∠ABD＝AD／BD＝2／√13
Cos∠ABD＝√（1－Sin^2∠ABD）＝3／√13
Sin∠ABC＝4／5
Cos∠ABC＝3／5
BE＝BN×Cos（∠ABC－∠ABD）
　　＝（Cos∠ABC×Cos∠ABD＋Sin∠ABC×Sin∠ABD）×t
　　＝[（3／5）×（3／√13）＋（4／5）×（2／√13）]×t
=[9／(5√13）＋8／(5√13）]×t
=[17／(5√13）]×t
∵△BEM∽△BAD
∴BE／AB＝BM／BD
　[17／(5√13）]×t×2√13＝6×（6－t）
　（34／5）×t＝36－6×t
　34t＝180－30t
　t＝180／64＝45／16（秒）
答：当MN⊥BD时，t＝45／16（秒）。