Question

计算第一类曲面积分：∫下标L√(x^2+y^2)ds ,其中L为圆周x^2+y^2=ax

Answer 1

参数方程：x=(a/2)+(a/2)sint，y=(a/2)cost

令x=cost， y=sint。 则ds=根号下{(dx)^2+(dy)^2}=dt。这时积分曲线是圆心在x轴上的点(1,0)、半径为1且与y轴相切（切点是原点）的圆周，参数t的变化范围是-pai/2到pai/2。 于是原积分=2cost在-pai/2到pai/2上的积分=4。

定义积分

方法不止一种，各种定义之间也不是完全等价的。其中的差别主要是在定义某些特殊的函数：在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。最常见的积分定义是黎曼积分和勒贝格积分。

Answer 2

作业帮可以看见的。

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Answer 3

答案见图：

追问

谢谢！书上的答案确实是2a^2
可是参考书上是这么做的
我还是不懂！

追答

我用的是参数方程，参考书用的是直角坐标
在直角坐标中：ds=√[1+(y')²]dx，其中y'是用隐函数求导法则求出来的。
对称性是因为积分曲线是关于x轴对称的，被积函数关于y又是偶函数，由奇偶对称性，可以将曲线缩短一半，然后前面2倍。
最后那个定积分的计算要用换元法，令√(a-x)=u
还有什么不懂，请继续追问。

如已看懂，请采纳。

追问

已看懂,那两种做法的答案怎么不一样?

追答

其实最后一步不换元可以直接积的。
∫ [0---a] 1/√(a-x) dx
=-∫ [0---a] (a-x)^(-1/2) d(a-x)
=-2(a-x)^(1/2) |[0---a]
=2a

你给的那个答案有问题，ds的计算中分母有个2，这个2应该与奇偶对称性后的2倍抵消，这样最后应该没有那个2倍。