Question

已知函数f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2）x+b

1、若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为-3，求a,b值
2.若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线求a的取值范围

Answer 1

解1：
∵函数f(x)的图像过原点
∴f(0)=0
即f(0)=b=0
f '(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)
∵函数f(x)在原点处的切线斜率为-3
∴f '(0)=-3
即 f '(0)=2(1-a)=-3
a=2.5
解2：
垂直于y轴的切线斜率为0
即存在两点x1，x2使得f '(x1)=f '(x2)=0
即方程 f '(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)=0 有两个不同的根
∴△=（2(1-a))^2-4*3*(-a(a+2)>0
化简得：4a^2+5a+1>0
(4a+1)(a+1)>0
所以 a>-1/4 或 a<-1
即 a ∈ (-∞，-1) ∪(-1/4, +∞)

Answer 2

（1） 过原点，f(0)=b=0。求导，f(x)'=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)所以，f'(0)=-a(a+2)=-3，解得a=1或-3。

Answer 3

：（Ⅰ）由题意得f'（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）
又f(0)=b=0f′(0)=-a(a+2)=-3​，
解得b=0，a=-3或a=1
（Ⅱ）函数f（x）在区间（-1，1）不单调，等价于
导函数f'（x）[是二次函数]，在（-1，1有实数根但无重根．
∵f'（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）[3x+（a+2）]，
令f'（x）=0得两根分别为x=a与x=-
a+23
若a=-
a+23即a=-12时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，
当两者不相等时即a≠-12时
有a∈（-1，1）或者-
a+23∈（-1，1）
解得a∈（-5，1）且a≠-12
综上得参数a的取值范围是（-5，-12）∪（-12，1）