Question

求由抛物线y=x^2－1，直线x=3，x=-1及x轴所围成的平面图形的面积S

解不等试 （1） |X－1|＋|X＋2|大于5 （2）ax^2－x－（a－1）＞0 （a＞0）已知a.b.c是完全不相等的正实数。求证：(b+c-a)/a＋(a+c-b)/b＋(a+b-c)/c＞3

Answer 1

∫x²-1 dx
=x³/3-x dx [1,3]
=9-3-(1/3-1)
=6+2/3
=20/3
∫(1-x²)dx
=x-x³/3 [-1,1]
=2/3+2/3
=4/3

S=20/3+4/3=8

（1） |X－1|＋|X＋2|大于5
当 x位于 -2和1之间时 |x-1|+|x+2|=1-x+x+2=3
所以 |x-1|+x+2|=5时
x=1+(5-3)/2=1+1=2
或
x=-2-(5-3)/2=-2-1=-3
所以 解集为 {x|x>2 或 x<-3}

（2）ax^2－x－（a－1）＞0 （a＞0）
[x-1][ax+(a-1)>0
a(x-1)[x-(1-a)/a]>0
当 (1-a)/a=1 a=1/2时
解为 x≠1
当 (1-a)/a>1 0<a<1/2 时
解为 x>(1-a)/a 或 x<1
当 (1-a)/a<1 a>1/2 时
解为 x>1 或 x<(1-a)/a

Answer 2

S= ∫(-1→3)|x²-1|dx
= ∫(1→3)(x²-1)dx - ∫(-1→1)(x²-1)dx
=(x³/3-x)|(上3下1)-(x³/3-x)|(上1下-1)
=(6-(-2/3))-(-2/3-2/3)
=8

Answer 3

定积分：
S＝∫ x^2-1 dx【下－1，上3】＝x^3/3-x【下－1，上3】＝3^3/3-3-(-1^3/3+1)=16/3